Rappresentazioni continue ad un solo valore

[Yvorion]

Ciao ragazzi, scusate se canno la sezione in cui postare la domanda. Sto approcciando un'appendice di Teoria dei Gruppi su un libro di RR e leggo "Le rappresentazioni continue di un gruppo topologico semolicemente connesso sono sempre ad un solo valore". Ho capito cosa sia una rappresentazione lineare, immagino che quando si dice "continua" si intenda che l'omomorfismo associato sia continuo, ditemi se sbaglio. La cosa che però mi turba di più è quel "ad un solo valore"... Che intende? (è la sezione sui Gruppi di Lie)

[solaàl]

Se \(G\) è un gruppo, una rappresentazione proiettiva \(\rho :G \to \text{PGL}(V)\) è "a un solo valore" se \(\rho\) ammette un rialzamento ad una rappresentazione lineare \(\bar\rho\) di \(G\) su \(V\) (\(\text{PGL}(V)\) è un quoziente di \(\text{GL}(V)\), esattamente quest'ultimo modulo il suo centro):

Il modo in cui rappresentazioni proiettive e lineari di un dato gruppo interagiscono è un po' complicato, e l'enunciato che stai cercando si chiama "teorema di Bargmann": se \(\rho\) è una rappresentazione proiettiva di \(G\), e la seconda coomologia dell'algebra di Lie di \(G\) è banale, allora ogni rappresentazione proiettiva di \(G\) si alza a una rappresentazione lineare del rivestimento universale \(\tilde G\) di \(G\): se \(G\) è semplicemente connesso, e \(H^2(\mathfrak{g}, \mathbb{R})=0\), allora ogni rappresentazione proiettiva di \(G\) si alza a una lineare di \(\tilde G=G\).

[Yvorion]

Ti ringrazio, ci ragiono e cerco questo teorema!