Rappresentazione vettoriale di una matrice
Ho seguito lo svolgimento di un esercizio e i messaggi di
chiarimento a chi aveva richiesto un intervento di aiuto,
credo di aver capito tutto, tranne un aspetto, ma mi
sembrava scorretto inserirmi nel thread e lo posto qui.
In merito a queste considerazioni:
qualcuno può, gentilmente, fornirmi una dritta perché,
al momento, non riesco ad arrivarci?
chiarimento a chi aveva richiesto un intervento di aiuto,
credo di aver capito tutto, tranne un aspetto, ma mi
sembrava scorretto inserirmi nel thread e lo posto qui.
In merito a queste considerazioni:
"Bokonon":
Si può sempre associare una matrice (o un polinomio) ad un vettore (ovviamente) e partire da la con le solite tecniche. Una matrice $ ( ( a , b ),( c , d ) ) $ la puoi sempre associare, ad esempio, ad un vettore $ ( ( a ),( b ),( c ),( d ) ) $ (scegli tu l'ordine a piacere ma ricordatelo perchè alla fine farai la trasformazione inversa).
qualcuno può, gentilmente, fornirmi una dritta perché,
al momento, non riesco ad arrivarci?
Risposte
Ciao Elisa_T, benvenuta.
Si tratta solo di un isomorfismo. Se abbiamo un problema concernente un insieme di oggetti qualsiasi e ci rendiamo conto che possiamo associarli univocamente ad altri oggetti matematici che sappiamo manipolare seguendo teoremi e regole, allora ci conviene codificare e spostare il problema stesso per risolverlo metodicamente con gli strumenti matematici che conosciamo. Alla fine otteniamo la soluzione voluta e ricodifichiamo all'indietro per avere la risposta originaria.
Questo approccio lo usiamo in continuazione in matematica e nelle scienze applicate. In fisica associamo quantità a vettori, no?
Riassumendo, ho un problema:
a) individuo l'oggetto matematico adatto
b) mi assicuro di poter creare una relazione biettiva fra gli oggetti originari e quest'ultimi
c) risolvo usando l'impianto matematico scelto
d) trovo la risposta in termini dell'insieme originario
Puoi pensare l'algebra lineare come ad un contenitore "vuoto". Tutto ciò che possiamo associare univocamente a dei vettori trova una naturale collocazione in questo contenitore.
Possiamo associare ad esempio ennuple di numeri naturali o di funzioni e scegliere un campo reale o complesso.
Una matrice dello spazio $M_(2x2)$ la possiamo associare univocamente ad un vettore di $RR^4$?
Certo. Volendo in questo caso possiamo anche lavorare direttamente con le matrici stesse ma nella sostanza le "pensiamo" comunque come vettori.
Possiamo associare tutti i polinomi di grado $n<=2$ a dei vettori?
Certo. Il polinomio generico è del tipo $ax^2+bx+c$ quindi ne esiste uno diverso per ogni combinazione dei coefficienti a, b e c. Ergo possiamo associare univocamente quel polinomio generico ad un vettore generico $(a,b,c)$
Vogliamo associare una forma quadratica ad una matrice? Facciamolo. Insomma, non ci sono misteri.
Possiamo creare associazioni fra oggetti matematici come negli esempi dati sopra.
Oppure riempire il contenitore per risolvere un problema "pratico" come ad esempio questo:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 2&t=202810
Ripeto, basta impostare una relazione biettiva e scegliere il campo.
Si tratta solo di un isomorfismo. Se abbiamo un problema concernente un insieme di oggetti qualsiasi e ci rendiamo conto che possiamo associarli univocamente ad altri oggetti matematici che sappiamo manipolare seguendo teoremi e regole, allora ci conviene codificare e spostare il problema stesso per risolverlo metodicamente con gli strumenti matematici che conosciamo. Alla fine otteniamo la soluzione voluta e ricodifichiamo all'indietro per avere la risposta originaria.
Questo approccio lo usiamo in continuazione in matematica e nelle scienze applicate. In fisica associamo quantità a vettori, no?
Riassumendo, ho un problema:
a) individuo l'oggetto matematico adatto
b) mi assicuro di poter creare una relazione biettiva fra gli oggetti originari e quest'ultimi
c) risolvo usando l'impianto matematico scelto
d) trovo la risposta in termini dell'insieme originario
Puoi pensare l'algebra lineare come ad un contenitore "vuoto". Tutto ciò che possiamo associare univocamente a dei vettori trova una naturale collocazione in questo contenitore.
Possiamo associare ad esempio ennuple di numeri naturali o di funzioni e scegliere un campo reale o complesso.
Una matrice dello spazio $M_(2x2)$ la possiamo associare univocamente ad un vettore di $RR^4$?
Certo. Volendo in questo caso possiamo anche lavorare direttamente con le matrici stesse ma nella sostanza le "pensiamo" comunque come vettori.
Possiamo associare tutti i polinomi di grado $n<=2$ a dei vettori?
Certo. Il polinomio generico è del tipo $ax^2+bx+c$ quindi ne esiste uno diverso per ogni combinazione dei coefficienti a, b e c. Ergo possiamo associare univocamente quel polinomio generico ad un vettore generico $(a,b,c)$
Vogliamo associare una forma quadratica ad una matrice? Facciamolo. Insomma, non ci sono misteri.
Possiamo creare associazioni fra oggetti matematici come negli esempi dati sopra.
Oppure riempire il contenitore per risolvere un problema "pratico" come ad esempio questo:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 2&t=202810
Ripeto, basta impostare una relazione biettiva e scegliere il campo.
Grazie della cortesia e della spiegazione.
Consentimi, se posso, un'ultima domanda.
In termini di relazioni biettive tutto quanto
scrivi mi sembra chiaro, ma, nel "rappresentare"
una matrice mediante un vettore di opportuna
dimensione, c'entra anche il fatto che le colonne
- o le righe - di una matrice già costituiscono di
per sé dei vettori (penso, ad es., al significato
delle applicazioni lineari) o non necessariamente?
Grazie ancora
Consentimi, se posso, un'ultima domanda.
In termini di relazioni biettive tutto quanto
scrivi mi sembra chiaro, ma, nel "rappresentare"
una matrice mediante un vettore di opportuna
dimensione, c'entra anche il fatto che le colonne
- o le righe - di una matrice già costituiscono di
per sé dei vettori (penso, ad es., al significato
delle applicazioni lineari) o non necessariamente?
Grazie ancora
Ringrazio Sergio per la chiarezza e la generalità
della risposta. Penso di aver capito.
Mi ostinavo a voler ravvisare un significato là
dove non c'era, mentre ce n'è uno assai più
generale come, ad es., la corrispondenza
biunivoca tra lo spazio vettoriale $Hom(V,W)$
- l'insieme di tutte le trasformazioni lineari di
$V$ (di dimensione $n$) in $W$ (di dimensione
m) e rispettive basi $B$ e $C$ - e lo spazio $M_{m,n}$
delle matrici con $m$ righe ed $n$ colonne,
a coefficienti nello stesso campo $K$, se ho
capito bene.
della risposta. Penso di aver capito.
Mi ostinavo a voler ravvisare un significato là
dove non c'era, mentre ce n'è uno assai più
generale come, ad es., la corrispondenza
biunivoca tra lo spazio vettoriale $Hom(V,W)$
- l'insieme di tutte le trasformazioni lineari di
$V$ (di dimensione $n$) in $W$ (di dimensione
m) e rispettive basi $B$ e $C$ - e lo spazio $M_{m,n}$
delle matrici con $m$ righe ed $n$ colonne,
a coefficienti nello stesso campo $K$, se ho
capito bene.
E' proprio qui, Sergio, nel contenuto della tua osservazione aggiunta,
che ero già riuscita a perdermi, prima, da sola. Intendo dire - e spero
di risultare comprensibile -: se mi avvalgo delle matrici per "rappresentare"
trasformazioni lineari da loro individuate, che mandano vettori da $V$ a $W$
tramite, ad es., una matrice $A$ rispetto alle rispettive basi $B$ e $C$ (del
dominio di partenza e del codominio di arrivo), allora, in questo caso, posso
"sostituire" alla matrice $A$ una sua rappresentazione effettuata mediante
un vettore? O non in questi casi? Di nuovo grazie!
che ero già riuscita a perdermi, prima, da sola. Intendo dire - e spero
di risultare comprensibile -: se mi avvalgo delle matrici per "rappresentare"
trasformazioni lineari da loro individuate, che mandano vettori da $V$ a $W$
tramite, ad es., una matrice $A$ rispetto alle rispettive basi $B$ e $C$ (del
dominio di partenza e del codominio di arrivo), allora, in questo caso, posso
"sostituire" alla matrice $A$ una sua rappresentazione effettuata mediante
un vettore? O non in questi casi? Di nuovo grazie!
Chiaro! Grazie!
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