Rappresentazione parametrica e cartesiana di sottospazi
Ciao ragazzi; dato un sottospazio, dovrei scriverne una rappresentazione parametrica ed una rappresentazione cartesiana di esso. Sul mio libro ho trovato solo argomenti che riguardano le applicazioni in merito, ma non semplici vettori o equazioni.
Mi spiego meglio, prendo due esercizi:
$ U_1 = { (x,y,z) € R^3 | x+y=z-x=0} in R^3 $
Se volessi rappresentarlo parametricamente come dovrei procedere?
$ U_1 = Span {(1,2,1),(1,-1,1),(3,0,3)} in R^3 $
Se volessi rappresentarlo tramite equazioni (metodo cartesiano), come dovrei procedere?
Se per darmi l'esempio volete usare esercizi diversi e più semplici va benissimo, così questi li potrei svolgere io come esercizio.
Grazie a tutti.
Mi spiego meglio, prendo due esercizi:
$ U_1 = { (x,y,z) € R^3 | x+y=z-x=0} in R^3 $
Se volessi rappresentarlo parametricamente come dovrei procedere?
$ U_1 = Span {(1,2,1),(1,-1,1),(3,0,3)} in R^3 $
Se volessi rappresentarlo tramite equazioni (metodo cartesiano), come dovrei procedere?
Se per darmi l'esempio volete usare esercizi diversi e più semplici va benissimo, così questi li potrei svolgere io come esercizio.
Grazie a tutti.
Risposte
XMauri94,
Se hai \( U_1 = \operatorname{Span}((1,2,1),(1,-1,1),(3,0,3)) \), noterai che \(((1,2,1),(1,-1,1))\) sono liberi su \( \Bbb{R}\) e che \( (3,0,3) \in \operatorname{Span}((1,2,1),(1,-1,1))\) ergo \(((1,2,1),(1,-1,1))\) sono una base per \( U_1 \), una volta trovata la base per \( U_1 \) si considera la matrice \( \begin{Vmatrix}
1 & 1& x\\
2& -1& y\\
1 & 1& z
\end{Vmatrix}\), si prende un minore non nullo di ordine pari alla \( \dim_\Bbb{R}(U_1)=2 \) scelto tra le prime \(2 \) colonne, ad esempio \( \begin{Vmatrix}
1 & 1\\
2& -1
\end{Vmatrix}\), si costruisce il sistema lineare: \( \left\{\begin{matrix}
\det \left ( \begin{Vmatrix}
1 & 1& x\\
2& -1& y\\
1 & 1& z
\end{Vmatrix}\right )=0
\end{matrix}\right.\), questo sistema ti da le cartesiane del sottospazio \( U_1 \), ovvero \( \{ 0=x-z \) sperando di aver fatto bene i calcoli sul determinante!
Per il primo esercizio non hai alcuna idea di come fare nel ricavarti le parametriche?
Saluti
P.S.=Vediamo se riesco a trovare un esercizio con un numero di cartesiane maggiore di \( 1 \).. è più divertente!
"xMauri94":
Ciao ragazzi; dato un sottospazio, dovrei scriverne una rappresentazione parametrica ed una rappresentazione cartesiana di esso. Sul mio libro ho trovato solo argomenti che riguardano le applicazioni in merito, ma non semplici vettori o equazioni.
Mi spiego meglio, prendo due esercizi:
$ U_1 = { (x,y,z) € R^3 | x+y=z-x=0} in R^3 $
Se volessi rappresentarlo parametricamente come dovrei procedere?
$ U_1 = Span {(1,2,1),(1,-1,1),(3,0,3)} in R^3 $
Se volessi rappresentarlo tramite equazioni (metodo cartesiano), come dovrei procedere?
Se per darmi l'esempio volete usare esercizi diversi e più semplici va benissimo, così questi li potrei svolgere io come esercizio.
Grazie a tutti.
Se hai \( U_1 = \operatorname{Span}((1,2,1),(1,-1,1),(3,0,3)) \), noterai che \(((1,2,1),(1,-1,1))\) sono liberi su \( \Bbb{R}\) e che \( (3,0,3) \in \operatorname{Span}((1,2,1),(1,-1,1))\) ergo \(((1,2,1),(1,-1,1))\) sono una base per \( U_1 \), una volta trovata la base per \( U_1 \) si considera la matrice \( \begin{Vmatrix}
1 & 1& x\\
2& -1& y\\
1 & 1& z
\end{Vmatrix}\), si prende un minore non nullo di ordine pari alla \( \dim_\Bbb{R}(U_1)=2 \) scelto tra le prime \(2 \) colonne, ad esempio \( \begin{Vmatrix}
1 & 1\\
2& -1
\end{Vmatrix}\), si costruisce il sistema lineare: \( \left\{\begin{matrix}
\det \left ( \begin{Vmatrix}
1 & 1& x\\
2& -1& y\\
1 & 1& z
\end{Vmatrix}\right )=0
\end{matrix}\right.\), questo sistema ti da le cartesiane del sottospazio \( U_1 \), ovvero \( \{ 0=x-z \) sperando di aver fatto bene i calcoli sul determinante!
Per il primo esercizio non hai alcuna idea di come fare nel ricavarti le parametriche?
Saluti
P.S.=Vediamo se riesco a trovare un esercizio con un numero di cartesiane maggiore di \( 1 \).. è più divertente!
Purtroppo sono riuscito a seguire fino ad un certo punto, non avendo studiato il determinante non ho ben capito come hai svolto i calcoli. Le operazioni sulle matrici che mi son state insegnate sono l'eliminazione di gauss, e trovare il rango tramite sempre l'eliminazione. Quindi mi son perso un po nella parte finale. E' possibile utilizzare l'eliminazione di gauss per concludere il calcolo che tu hai effettuato con il determinante?
Ti assicuro che non so come fare per quanto riguarda le parametriche, ho anche cercato in giro però mi son solo confuso più le idee.
Ti assicuro che non so come fare per quanto riguarda le parametriche, ho anche cercato in giro però mi son solo confuso più le idee.
@xMauri94,
in primis, che testo usi? Potrei consigliarti "Geometria 1 di E.Sernesi" (online, oltre a quel link , lo trovi)... se non hai ancora affrontato il determinante, e calcoli il rango con il MEG allora quanto ti ho detto non ti serve moolto...!! Ci sono metodi diversi, ad esempio sulla matrice \(\begin{Vmatrix} 1 & 1& x\\ 2& -1& y\\ 1 & 1& z \end{Vmatrix}\) puoi lavorare nel ridurla per colonne tale che l'ultima colonna risulti essere nulla[nota]ti sto dicendo ciò da ricordi di studi, ma non sono sicuro.. anche perchè personalmente non amo il MEG 
[/nota]! Per le parametriche fammi vedere, sinceramente ti ho chiesto se sapevi come fare perchè io non ricordo bene..
Saluti
"xMauri94":
Purtroppo sono riuscito a seguire fino ad un certo punto, non avendo studiato il determinante non ho ben capito come hai svolto i calcoli. Le operazioni sulle matrici che mi son state insegnate sono l'eliminazione di gauss, e trovare il rango tramite sempre l'eliminazione. Quindi mi son perso un po nella parte finale. E' possibile utilizzare l'eliminazione di gauss per concludere il calcolo che tu hai effettuato con il determinante?
Ti assicuro che non so come fare per quanto riguarda le parametriche, ho anche cercato in giro però mi son solo confuso più le idee.
in primis, che testo usi? Potrei consigliarti "Geometria 1 di E.Sernesi" (online, oltre a quel link
, lo trovi)... se non hai ancora affrontato il determinante, e calcoli il rango con il MEG allora quanto ti ho detto non ti serve moolto...!! Ci sono metodi diversi, ad esempio sulla matrice \(\begin{Vmatrix} 1 & 1& x\\ 2& -1& y\\ 1 & 1& z \end{Vmatrix}\) puoi lavorare nel ridurla per colonne tale che l'ultima colonna risulti essere nulla[nota]ti sto dicendo ciò da ricordi di studi, ma non sono sicuro.. anche perchè personalmente non amo il MEG [/nota]! Per le parametriche fammi vedere, sinceramente ti ho chiesto se sapevi come fare perchè io non ricordo bene.. Saluti
Concentrandomi un attimo sulle equazioni cartesiane, ho risolto la matrice con il MEG (metodo che spesso uso anche per trovare le basi dei sottospazi). Sulla matrice risultante (dopo il MEG), ottengo:
$ x+y+3z=0 $
$ -3y+6z=0 $
$ z = t € R $
Ottengo, risolvendo l'equazioni:
$ y= 2t $
$ x= -5t $
$ z = t € R $
Queste 3 equazioni sono la forma cartesiana del sottospazio U1?
$ x+y+3z=0 $
$ -3y+6z=0 $
$ z = t € R $
Ottengo, risolvendo l'equazioni:
$ y= 2t $
$ x= -5t $
$ z = t € R $
Queste 3 equazioni sono la forma cartesiana del sottospazio U1?
Forse ho capito, invece, come ricavarmi da equazioni parametriche, la relativa rappresentazione cartesiana.
Nel caso di $ U_1 $ scrivo :
$ { (x, y, z) € R^3 | x+2y+z=x-y+z=3x+3z=0 } in R^3 $
E' semplicemente così?
Nel caso di $ U_1 $ scrivo :
$ { (x, y, z) € R^3 | x+2y+z=x-y+z=3x+3z=0 } in R^3 $
E' semplicemente così?
@xMauri94,
scusami, io sto pensando ancora a come sono definite le parametriche nel caso di sottospazi vettoriali[nota]nel caso di sottospazio affini mi sono così chiare[/nota].. ma non capisco la scrittura \( x+2y+z=x-y+z=3x+3z=0 \).. che intendi?
Saluti
"xMauri94":
Forse ho capito, invece, come ricavarmi da equazioni parametriche, la relativa rappresentazione cartesiana.
Nel caso di $ U_1 $ scrivo :
$ { (x, y, z) € R^3 | x+2y+z=x-y+z=3x+3z=0 } in R^3 $
E' semplicemente così?
scusami, io sto pensando ancora a come sono definite le parametriche nel caso di sottospazi vettoriali[nota]nel caso di sottospazio affini mi sono così chiare
[/nota].. ma non capisco la scrittura \( x+2y+z=x-y+z=3x+3z=0 \).. che intendi?Saluti
Mi correggo, sono stato stupido.. Se io scrivo :
$ x+y=0 $
$ z-x=0 $
Trovo facilmente che :
$ x=1 ; y=-1 ; z=1 $
$ 1-1 = 0 $
$ 1-1 = 0 $
Quindi l'equazione parametrica dovrebbe essere:
$ (1,-1) = (1-1) = 0 $
$ x+y=0 $
$ z-x=0 $
Trovo facilmente che :
$ x=1 ; y=-1 ; z=1 $
$ 1-1 = 0 $
$ 1-1 = 0 $
Quindi l'equazione parametrica dovrebbe essere:
$ (1,-1) = (1-1) = 0 $
@xMauri94,
penso di si se mi fai una simile domanda... allora perchè scrivi $$U_1=\{(x,y,z) \in \Bbb{R}^3|x+2y+z=x-y+z=3x+3z=0\}$$ e non $$
U_1={\color{Black}\{}(x, y, z) \in \Bbb{R}^3 | \left\{\begin{matrix}
x+2y+z=0\\
x-y+z=0\\
3x+3z=0
\end{matrix}\right. {\color{Black}\}}$$ oppure $$
U_1={\color{Black}\{}(x, y, z) \in \Bbb{R}^3 |
x+2y+z=0;
x-y+z=0;
3x+3z=0
{\color{Black}\}}$$
Saluti
P.S.=Comunque le parametriche di \( U_1 = \operatorname{Span}((1,2,1),(1,-1,1),(3,0,3))\) sono, se non ricordo male, il sistema (essendo \(((1,2,1),(1,-1,1))\) base per \( U_1 \)) $$\left\{\begin{matrix}
x=1t_1+1t_2\\
y=2t_1-1t_2\\
z=1t_1+1t_2
\end{matrix}\right.$$ tale sistema è dato prendendo \((x,y,z) \in U_1 \) per poi "decomporlo" rispetto alla base presa!
Ovviamente se \( U_1 \) è dato tramite cartesiane allora ti basta trovare una base ed applicare il metodo suddetto!
"xMauri94":
$ x+2y+z $ non è una rappresentazione cartesiana di $ (1,2,1) $ ? (E così via le altre..)
penso di si se mi fai una simile domanda... allora perchè scrivi $$U_1=\{(x,y,z) \in \Bbb{R}^3|x+2y+z=x-y+z=3x+3z=0\}$$ e non $$
U_1={\color{Black}\{}(x, y, z) \in \Bbb{R}^3 | \left\{\begin{matrix}
x+2y+z=0\\
x-y+z=0\\
3x+3z=0
\end{matrix}\right. {\color{Black}\}}$$ oppure $$
U_1={\color{Black}\{}(x, y, z) \in \Bbb{R}^3 |
x+2y+z=0;
x-y+z=0;
3x+3z=0
{\color{Black}\}}$$
Saluti
P.S.=Comunque le parametriche di \( U_1 = \operatorname{Span}((1,2,1),(1,-1,1),(3,0,3))\) sono, se non ricordo male, il sistema (essendo \(((1,2,1),(1,-1,1))\) base per \( U_1 \)) $$\left\{\begin{matrix}
x=1t_1+1t_2\\
y=2t_1-1t_2\\
z=1t_1+1t_2
\end{matrix}\right.$$ tale sistema è dato prendendo \((x,y,z) \in U_1 \) per poi "decomporlo" rispetto alla base presa!
Ovviamente se \( U_1 \) è dato tramite cartesiane allora ti basta trovare una base ed applicare il metodo suddetto!
@xMauri94,
mmm non capisco!
solo quelle? E se provi con $x=\pi; y=-\pi; z=\pi$, e così via....?? in generale se vuoi sapere chi è \((x,y,z)\) devi valutare le soluzioni del sistema lineare omogeneo \( \left\{\begin{matrix}
x+y=0 \\
z-x=0
\end{matrix}\right. \) (ma questa è un'altra storia, se non hai fatto i determinanti e i ranghi con questi non penso hai fatto i sistemi lineari e le loro soluzioni..)
Quelle equazioni parametriche non possono esserlo, mancano i parametri ! (Guarda come ho fatto nella mia precedente risposta, ammetto che nel caso vettoriale le parametriche sono semplicissime.. )
Saluti
"xMauri94":
Mi correggo, sono stato stupido.. Se io scrivo :
$ x+y=0 $
$ z-x=0 $
Trovo facilmente che :
$ x=1 ; y=-1 ; z=1 $
$ 1-1 = 0 $
$ 1-1 = 0 $
Quindi l'equazione parametrica dovrebbe essere:
$ (1,-1) = (1-1) = 0 $
mmm non capisco!
"xMauri94":
Mi correggo, sono stato stupido.. Se io scrivo :
$ x+y=0 $
$ z-x=0 $
Trovo facilmente che :
$ x=1 ; y=-1 ; z=1 $
$ 1-1 = 0 $
$ 1-1 = 0 $
solo quelle? E se provi con $x=\pi; y=-\pi; z=\pi$, e così via....??
in generale se vuoi sapere chi è \((x,y,z)\) devi valutare le soluzioni del sistema lineare omogeneo \( \left\{\begin{matrix}x+y=0 \\
z-x=0
\end{matrix}\right. \) (ma questa è un'altra storia, se non hai fatto i determinanti e i ranghi con questi non penso hai fatto i sistemi lineari e le loro soluzioni..)
"xMauri94":
Quindi l'equazione parametrica dovrebbe essere:
$ (1,-1) = (1-1) = 0 $
Quelle equazioni parametriche non possono esserlo, mancano i parametri
! (Guarda come ho fatto nella mia precedente risposta, ammetto che nel caso vettoriale le parametriche sono semplicissime.. ) Saluti
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