Rappresentazione operatore lineare in notazione Dirac
Salve 
Non ho ben afferrato questa frase:
" Un qualunque operatore lineare,rappresentabile attraverso un opportuna matrice dopo aver scelto una base, può essere rappresentato nella notazione di Dirac come:
$ A=sum_(i,j)|e_i>A_(ij)
Cioè come può un operatore e quindi una matrice essere equivalente alla precedente espressione??
Alla destra ho uno scalare $ A_(ij) $ e due vettori base....ora come può la somma per tutti gli $ i,j $ di tali membri darmi una matrice? a me pare che al piu mi dia un vettore...
inoltre ,seconda domanda l'espressione $ $ identifica il prodotto scalare e dunque in definitiva un numero.
Mentre l'espressione $ |e_i>
Grazie !!
Non ho ben afferrato questa frase:
" Un qualunque operatore lineare,rappresentabile attraverso un opportuna matrice dopo aver scelto una base, può essere rappresentato nella notazione di Dirac come:
$ A=sum_(i,j)|e_i>A_(ij)
Cioè come può un operatore e quindi una matrice essere equivalente alla precedente espressione??
Alla destra ho uno scalare $ A_(ij) $ e due vettori base....ora come può la somma per tutti gli $ i,j $ di tali membri darmi una matrice? a me pare che al piu mi dia un vettore...
inoltre ,seconda domanda l'espressione $
Mentre l'espressione $ |e_i>
Grazie !!
Risposte
Un vettore colonna moltiplicato un vettore riga non da affatto un numero.
ciao,
e cosa darebbe scusa?
Esempio:
$ v=( ( v_1 ),( v_2),( v_3 ) ) $
$ u=(u_1,u_2,u_3) $
ora $ v $ puo essere interpretato come una matrice $ 3xx 1 $
mentre $ u $ come una matrice $ 1xx3 $
Effettivamente perciò il prodotto $ v*u $ mi da un qualcosa ,diciamo una matrice , di dimensione $ 3xx3 $ ...
Però come faccio ad ottenere ciò?....devo applicare il prodotto riga per colonna?
Ma considerando l'esempio generico di prima come faccio con il classico prodotto riga per colonna delle due matrici (vettori) ad ottenere una matrice $ 3xx3 $ ??
nel senso io il prodotto lo farei semplicemente cosi:
$ v*u=v_1u_1+v_2u_2+v_3u_3 $
cioè ho fatto il classico prodotto scalare (prodotto riga per colonna o meglio) tra queste due matrici particolari (sono vettori)...pero cosi non mi viene una matrice $ A_(3xx3) $
Suggerimenti,consigli,aiuti??
grazie mille.
e cosa darebbe scusa?
Esempio:
$ v=( ( v_1 ),( v_2),( v_3 ) ) $
$ u=(u_1,u_2,u_3) $
ora $ v $ puo essere interpretato come una matrice $ 3xx 1 $
mentre $ u $ come una matrice $ 1xx3 $
Effettivamente perciò il prodotto $ v*u $ mi da un qualcosa ,diciamo una matrice , di dimensione $ 3xx3 $ ...
Però come faccio ad ottenere ciò?....devo applicare il prodotto riga per colonna?
Ma considerando l'esempio generico di prima come faccio con il classico prodotto riga per colonna delle due matrici (vettori) ad ottenere una matrice $ 3xx3 $ ??
nel senso io il prodotto lo farei semplicemente cosi:
$ v*u=v_1u_1+v_2u_2+v_3u_3 $
cioè ho fatto il classico prodotto scalare (prodotto riga per colonna o meglio) tra queste due matrici particolari (sono vettori)...pero cosi non mi viene una matrice $ A_(3xx3) $
Suggerimenti,consigli,aiuti??
grazie mille.
È la matrice \(A=(a_{ij})\) con \(a_{ij}=v_iu_j\).
Ma non conosco la notazione di Dirac, quindi non so il senso della scrittura iniziale. Comunque supponendo che sia vettore colonna per matrice \(1\times1\) per vettore riga darebbe in effetti l'oggetto corretto.
Ma non conosco la notazione di Dirac, quindi non so il senso della scrittura iniziale. Comunque supponendo che sia vettore colonna per matrice \(1\times1\) per vettore riga darebbe in effetti l'oggetto corretto.
grazie mille Vict
Prendi, per esempio, il versore $(sqrt2/2,sqrt2/2,0)$ e svolgi il seguente prodotto riga per colonna:
$P=((sqrt2/2),(sqrt2/2),(0))(sqrt2/2,sqrt2/2,0)=((1/2,1/2,0),(1/2,1/2,0),(0,0,0))$
Si ottiene un operatore di proiezione: $P^2=P$.
$P=((sqrt2/2),(sqrt2/2),(0))(sqrt2/2,sqrt2/2,0)=((1/2,1/2,0),(1/2,1/2,0),(0,0,0))$
Si ottiene un operatore di proiezione: $P^2=P$.
"gordnbrn":
Prendi, per esempio, il versore $(sqrt2/2,sqrt2/2,0)$ e svolgi il seguente prodotto riga per colonna:
$P=((sqrt2/2),(sqrt2/2),(0))(sqrt2/2,sqrt2/2,0)=((1/2,1/2,0),(1/2,1/2,0),(0,0,0))$
Si ottiene un operatore di proiezione: $P^2=P$.
quindi di fatto in riferimento alla notazione di dirac l'espressione $ |v>
quindi un qualcosa che assume un completo senso e significato quando applicato a un qualche elemento (es vettore,funzione)
Nell'ambito dell'algebra lineare puoi tranquillamente fare di conto. Se prendi la dovuta confidenza, molte cose studiate in precedenza ti sembreranno più intuitive. Il proiettore che ti ho mostrato ne è un esempio lampante. Nell'ambito dell'analisi funzionale è soprattutto una notazione che semplifica le dimostrazioni, se così si possono chiamare le deduzioni che trovi nei manuali di fisica teorica.
In realtà è qualcosa di molto banale, e la notazione non aiuta. Sinceramente non comprendo l'odio dei fisici per la normale notazione dell'algebra lineare. A me sembra piuttosto semplice ed intuitiva 
.
Quei vettori sono i normali vettori della base standard. Quindi quel particolare prodotto produce la matrice con tutti 0 tranne nell'elemento \(\displaystyle i,j \). Insomma produce un particolare elemento della base standard dello spazio vettoriale delle matrici. Insomma quella frase sta solo dicendo che A può essere espresso come combinazione lineare degli elementi della base standard delle matrici.
.Quei vettori sono i normali vettori della base standard. Quindi quel particolare prodotto produce la matrice con tutti 0 tranne nell'elemento \(\displaystyle i,j \). Insomma produce un particolare elemento della base standard dello spazio vettoriale delle matrici. Insomma quella frase sta solo dicendo che A può essere espresso come combinazione lineare degli elementi della base standard delle matrici.
"vict85":
Quei vettori sono i normali vettori della base standard. Quindi quel particolare prodotto produce la matrice con tutti 0 tranne nell'elemento \(\displaystyle i,j \). Insomma produce un particolare elemento della base standard dello spazio vettoriale delle matrici. Insomma quella frase sta solo dicendo che A può essere espresso come combinazione lineare degli elementi della base standard delle matrici.
Ho capito che cosa intendi e non posso darti torto.
"vict85":
In realtà è qualcosa di molto banale, e la notazione non aiuta.
Aiuta, aiuta. Bisognerebbe mettersi nei panni dei fisici. Dirac è uno dei più grandi anche per questo. Ho bisogno di un proiettore, faccio quel conto. Lo spazio duale lo lascio ai matematici. Tra l'altro, nel suo libro, Dirac parla a lungo dello spazio duale all'inizio. Per poi non parlarne più. Attenzione! Stiamo parlando di un libro per fisici.
"gordnbrn":
Aiuta, aiuta. Bisognerebbe mettersi nei panni dei fisici. Dirac è uno dei più grandi anche per questo. Ho bisogno di un proiettore, faccio quel conto. Lo spazio duale lo lascio ai matematici. Tra l'altro, nel suo libro, Dirac parla a lungo dello spazio duale all'inizio. Per poi non parlarne più.
Questa non la conosco. Mi riferivo anche e soprattutto a quella di Einstein. Mi potresti fare un esempio in cui questa notazione mostra le sue potenzialità? Non ho capito il commento sullo spazio duale: anche i matematici usano i vettori riga, semplicemente ci mettono il segno ti trasposto.
grazie ad entrambi...
In effetti la notazione di dirac mi servi per affrontare un argomento di chimica fisica legato alla mq (eq schrodinger e simili)...
e devo ammettere che inizialmente bisogna prenderci la mano con questa nuova simbologia...almeno agli inizi mi sembra piu immediata quella dei matematici ma sicuramente come ha detto gordnbrn per certi problemi fisici sveltisce molto le cose
In effetti la notazione di dirac mi servi per affrontare un argomento di chimica fisica legato alla mq (eq schrodinger e simili)...
e devo ammettere che inizialmente bisogna prenderci la mano con questa nuova simbologia...almeno agli inizi mi sembra piu immediata quella dei matematici ma sicuramente come ha detto gordnbrn per certi problemi fisici sveltisce molto le cose
"vict85":
Mi potresti fare un esempio in cui questa notazione mostra le sue potenzialità?
L'esempio del proiettore che ho già fatto. Se vuoi altri esempi, prendi un qualsiasi manuale di teoria quantistica dei campi. La notazione di Dirac è ampiamente usata. Se vuoi riscriverli tutti utilizzando le notazioni che più gradisci, sei il benvenuto. Ma temo che tu non sappia nemmeno lontanamente il lavoro che ti aspetta.
"vict85":
Non ho capito il commento sullo spazio duale: anche i matematici usano i vettori riga, semplicemente ci mettono il segno ti trasposto.
L'avevi buttata giù un po' pesante dal punto di vista matematico, volevo pareggiare il banco.
"vict85":
Insomma produce un particolare elemento della base standard dello spazio vettoriale delle matrici. Insomma quella frase sta solo dicendo che A può essere espresso come combinazione lineare degli elementi della base standard delle matrici.
Non stavi parlando dello spazio duale? Mica sei uno di quelli che fa a non capire?
"xshadow":
In effetti la notazione di dirac mi servi per affrontare un argomento di chimica fisica legato alla mq (eq schrodinger e simili)...e devo ammettere che inizialmente bisogna prenderci la mano con questa nuova simbologia...almeno agli inizi mi sembra piu immediata quella dei matematici ma sicuramente come ha detto gordnbrn per certi problemi fisici sveltisce molto le cose
E meno male!!!
Non so cosa hai capito tu, ma io intendevo solo dire che \(\displaystyle \lvert e_i\rangle\langle e_j\rvert = E_{ij} = (\delta_{i}^j) \). Questo insieme può essere considerato la base canonica dello spazio delle matrici quadrate \(\displaystyle n\times n \) (insomma la più normale delle basi che puoi definire su questo spazio vettoriale). Quindi quella scrittura è equivalente a scrivere \(\displaystyle A = \sum_{ij} a_{ij}E_{ij} \). Ovvero che \(\displaystyle E_{ij} \) formano una base dello spazio delle matrici. Insomma semplice algebra delle matrici da primo anno.
Certo puoi anche esprimere il tutto come la decomposizione attraverso endomorfismi idempotenti, ma nel caso specifico non mi sembra utilissimo.
Certo puoi anche esprimere il tutto come la decomposizione attraverso endomorfismi idempotenti, ma nel caso specifico non mi sembra utilissimo.
Scusa vict85, non ti conosco, pensavo volessi polemizzare. Io sono d'accordo con te praticamente su tutto. Solo per quanto riguarda la notazione di Dirac sembra non ci sia accordo. Probabilmente perchè non hai avuto mai bisogno di utilizzarla. Scusa ancora se ho alzato un po' i toni. 
Alla fine è una questione di abitudine. Anche tra i matematici ci sono quelli che calcolano tutti con le matrici e altri che usano endomorfismi e algebra astratta. Ci sono vantaggi in entrambi gli approcci. Non uso molto le coordinate perché alle volte nascondono cose. Quindi non amo la notazione di Einstein. La notazione di Dirac non la conosco. Immaginò sia comoda quando ci prendi la mano. Però pensò possa essere scomoda per i matematici perché si presta poco ad essere affiancata dagli altri 100 simboli che si usano abitualmente.
"gordnbrn":
Ho bisogno di un proiettore, faccio quel conto. Lo spazio duale lo lascio ai matematici. Tra l'altro, nel suo libro, Dirac parla a lungo dello spazio duale all'inizio. Per poi non parlarne più.
"vict85":
Non ho capito il commento sullo spazio duale: anche i matematici usano i vettori riga, semplicemente ci mettono il segno ti trasposto.
Avevi ragione da vendere. Per un qualche motivo ho chiamato "spazio duale" lo spazio degli operatori lineari, confondendolo colpevolmente con lo spazio dei funzionali lineari. Non si può utilizzare un nome che la comunità ha adottato per indicare un certo concetto intendendone un altro. Quel che è giusto è giusto. A questo punto non mi rimane che chiedere ancora venia, non solo per il metodo, ma anche per il merito.
Ti scusi per cosa? Lo spazio duale è l'insieme dei funzionali lineari (anche se io, non essendo un analista, uso più il termine forma). Un vettore riga è invece una matrice che può in effetti essere interpretata come un elemento del duale quando viene vista come applicazione lineare.
"vict85":
Quei vettori sono i normali vettori della base standard. Quindi quel particolare prodotto produce la matrice con tutti 0 tranne nell'elemento \(\displaystyle i,j \). Insomma produce un particolare elemento della base standard dello spazio vettoriale delle matrici. Insomma quella frase sta solo dicendo che A può essere espresso come combinazione lineare degli elementi della base standard delle matrici.
"gordnbrn":
Ho bisogno di un proiettore, faccio quel conto. Lo spazio duale lo lascio ai matematici.
"vict85":
Non ho capito il commento sullo spazio duale: anche i matematici usano i vettori riga, semplicemente ci mettono il segno ti trasposto.
Mi sono scusato perchè il tuo primo intervento sopra riportato si riferiva al caso generale degli operatori rappresentati da matrici NxN. Nella mia risposta ho invece parlato di spazio duale, un caso particolare del tuo, matrici 1xN. Ho pensato che la tua controrisposta mi chiedesse delucidazioni in merito. In ogni modo, quando ho parlato di spazio duale, io stavo onestamente intendendo il caso generale delle matrici NxN, e questo non è corretto. Se mi sto perdendo qualcosa, saresti pregato di farmelo notare.
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