Rappresentazione matrice di una trasformazione lineare

[nikyco-votailprof]

ciao ragazzi,
ho il seguente problema:

Sia $M_2$(R), lo spazio vettoriale delle matrici 2x2 a coefficienti in R.
$M_2$(R) è uno spazio vettoriale di dimensione 4 su R e le seguenti sotto matrici formano una sua base:

$U_11$ = $((1,0),(0,0))$

$U_22$= $((0,0),(0,1))$

$U_12$= $((0,1),(0,0))$

$U21$= $((0,0),(1,0))$

Sia $\phi$ : $M_2$(R) $\rightarrow$ $M_2$(R) la funzione che ad ogni matrice A $in$ $M_2$(R) associa la somma A+$A^t$ di A e delle sua trasposta $A^t$ . $\phi$ è una trasformazione lineare.

1. Scrivere la matrice che rappresenta $\phi$ rispetto alla base $M_2$(R) formata da $U_11$ $U_22$ $U_12$ $U_21$ (prese in quest'ordine).

io ho trovato le seguenti matrici:

$\phi$ ( $U_11$ ) = $((2,0),(0,0))$

$\phi$ ( $U_22$ ) = $((0,0),(0,2))$

$\phi$ ( $U_12$ ) = $((0,1),(1,0))$

$\phi$ ( $U_21$ ) = $((0,1),(1,0))$

come faccio a trovare la matrice che rappresenta $\phi$ ???

vi prego rispondete!!!!....è molto importante!!!

Grazie
cocochanel

[laura1232]

Il problema è abbastanza semplice, lo spazio delle matrici $M_2(RR)$ ha dimensione $4$ quindi ogni suo elemento si potrà rappresentare con un $4$-upla che rappresenta le sue componenti nella base $cc(B)={U_{11},U_{22},U_{12},U_{21}}$.
Nel tuo caso $phi (U_{11})=(2,0,0,0)$,$phi (U_{22})=(0,2,0,0)$, $phi (U_{12})=(0,0,1,1)$ e $phi (U_{21})=(0,0,1,1)$.
Queste che ho scritto sono le componenti delle immagini dei vettori della base $cc(B)$ rispetto hai vettori della stessa base.
La matrice si determina disponendo nelle colonne tali componenti quindi la matrice è $M^{cc(B,B)}=((2,0,0,0),(0,2,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1,1))$

[nikyco-votailprof]

ciao laura123,
ti ringrazio per la tua risposta molto chiara, però non ho ben capito perchè le componenti delle immagini del vettore B $\phi$ ($U_11$), $\phi$ ($U_22$), $\phi$ ($U_12$), $\phi$ ($U_21$) ti vengono in quel modo, io li avrei fatti così:

$\phi$ ($U_11$) = (2,0,0,0)

$\phi$ ($U_22$) = (0,0,0,2)

$\phi$ ($U_12$) = (0,1,1,0)

$\phi$ ($U_21$) = (0,1,1,0)

cioè come se avessi una matrice:

$((a,b),(c,d))$ $\rightarrow$ $((a,b,c,d))$

[laura1232]

pensa ad esempio a $phi(U_{22})=2 U_{22}=0 U_{11}+2 U_{22}+0U_{12}+0U_{21}$ quindi le componenti secondo la base nell'orine che ti interessa sono $(0,2,0,0)$. Quelle che hai calcolato tu sono le componenti rispetto alla base canonica

[nikyco-votailprof]

adesso ho capito!!!!

grazie mille!!!
sei stata veramente chiarissima!!!!