Rappresentazione geometrica (nucleo, autovettori..)
Ciao a tutti, mi piacerebbe sapere qual'è la rappresentazione geometrica nello spazio del nucleo, degli autovalori e degli autovettori. Nel senzo, qual'è la loro interpretazione grafica?
Spero di essermi spiegato bene.
Grazie 1000!
Spero di essermi spiegato bene.
Grazie 1000!
Risposte
Il nucelo è il sottospazio del dominio i cui vettori hanno come immagine il vettore nullo, non so se c'è qualcosa di particolare nella loro rappresentazione geometrica... Gli autovettori invece sono vettori paralleli alla propria immagine mediante l'applicazione consierata, e l'autovalore è proprio il fattore di scala fra l'autovettore e la propria immagine.
Ad esempio se consideri una conica nel piano riferita ad una base ortonormale di $RR^2$ e consideri la matrice della rototraslazione che ti permette di portare la conica in forma canonica, gli autospazi relativi agli autovalori della matrice sono le equazioni degli assi del primo sistema di riferimento rispetto alla base canonica di $RR^2$.
Considera una matrice quadrata $A =((1,1),(0,2)) $.
Se voglio trovare autovalori e autovettori della matrice A devo risolvere il sistema matriciale lineare :
$ A bar x = lambda barx $ il che vuol dire trovare i vettori la cui direzione non viene modificata dalla trasformazione lineare.
Non indico i conti, che sono standard, ma dò i risultati :
*Primo autovalore $lambda_1 = 1$ ; autovettori associati del tipo $barx_1 = (alpha, 0) $
*Secondo autovalore $lambda_2 = 2 $; autovettori associati del tipo $ barx_2 = (beta, beta) $ con $alpha,beta in RR $ .
Se $lambda$ è un autovalore e $bar x $ il corrispondente autovettore , allora la trasformazione (applicazione lineare) : $A bar x= lambda barx $ trasforma l'autovettore $ barx $ in un altro vettore $lambda barx $ che ha la stessa direzione, modulo moltiplicato per $|lambda| $ e verso concorde se $ lambda > 0 $ ,discorde se $ lambda < 0 $.
Per $lambda_1 = 1 $ l'autovettore $ ( alpha,0) $ non è modificato nè in direzione ( ovviamente essendo un autovettore) nè in verso ( $lambda > 0 ) $ nè in modulo ($lambda =1 )$ dalla applicazione lineare data da A .
Infatti si ha che $Abarx = lambda barx $ diventa :
$((1,1),(0,2))*((alpha),(0)) = ((alpha),(0))$.
Per $lambda_2 = 2 $ l'autovettore $ (beta,beta)$ verrà moltiplicato per $2 $ e resteranno invariate direzione ( è un autovettore) e verso ($ lambda > 0 $ ) .
Si ha infatti :
$((1,1),(0,2))*((beta),(beta)) = ((2beta),(2beta)) $ .
Se voglio trovare autovalori e autovettori della matrice A devo risolvere il sistema matriciale lineare :
$ A bar x = lambda barx $ il che vuol dire trovare i vettori la cui direzione non viene modificata dalla trasformazione lineare.
Non indico i conti, che sono standard, ma dò i risultati :
*Primo autovalore $lambda_1 = 1$ ; autovettori associati del tipo $barx_1 = (alpha, 0) $
*Secondo autovalore $lambda_2 = 2 $; autovettori associati del tipo $ barx_2 = (beta, beta) $ con $alpha,beta in RR $ .
Se $lambda$ è un autovalore e $bar x $ il corrispondente autovettore , allora la trasformazione (applicazione lineare) : $A bar x= lambda barx $ trasforma l'autovettore $ barx $ in un altro vettore $lambda barx $ che ha la stessa direzione, modulo moltiplicato per $|lambda| $ e verso concorde se $ lambda > 0 $ ,discorde se $ lambda < 0 $.
Per $lambda_1 = 1 $ l'autovettore $ ( alpha,0) $ non è modificato nè in direzione ( ovviamente essendo un autovettore) nè in verso ( $lambda > 0 ) $ nè in modulo ($lambda =1 )$ dalla applicazione lineare data da A .
Infatti si ha che $Abarx = lambda barx $ diventa :
$((1,1),(0,2))*((alpha),(0)) = ((alpha),(0))$.
Per $lambda_2 = 2 $ l'autovettore $ (beta,beta)$ verrà moltiplicato per $2 $ e resteranno invariate direzione ( è un autovettore) e verso ($ lambda > 0 $ ) .
Si ha infatti :
$((1,1),(0,2))*((beta),(beta)) = ((2beta),(2beta)) $ .
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