Rappresentazione di forme sesquilineari

dissonance
Se in uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita abbiamo una forma bilineare simmetrica $\langle,\rangle$ non degenere, questo ci permette di rappresentare tutte le forme bilineari in termini di endomorfismi.

Infatti, se $phi$ è una forma bilineare, allora per ogni $v\inV$ la $phi(v, *)$ è un funzionale lineare, ed essendo $\langle,\rangle$ non degenere esiste unico un vettore $v'$ tale che $phi(v, *)=\langlev', *\rangle$. Chiamando $A(v)=v'$ otteniamo una applicazione $A:V\toV$ che si verifica facilmente essere lineare (sempre in virtù del fatto che $\langle,\rangle$ non è degenere) e tale che $phi(v,w)=\langleA(v),w\rangle$ per ogni $v, w\inV$. Questo discorso si può tranquillamente fare sull'altro argomento, ottenendo un unico endomorfismo $B$ per cui $phi(v,w)=\langlev, B(w)\rangle$. Diremo che $A$ e $B$ sono uno il trasposto dell'altro, visto che le rispettive matrici saltano fuori essere una la trasposta dell'altra in basi opportune.

Vorrei rifare questo discorso per le forme sesquilineari. Per forma sesquilineare in uno spazio vettoriale complesso $V$ intendo una applicazione $phi:VtimesV\toCC$ che sia lineare in un argomento e antilineare nell'altro, ovvero
$\forallv, w, u\inV, lambda\inCC, phi(lambdav+w, u)=barlambdaphi(v, u)+phi(w, u); phi(u, lambdav+w)=lambdaphi(u, v)+phi(u, w)$.
Sono sicuro al 99% che, supposto $V$ di dimensione finita e assegnata una forma sesquilineare $\langle,\rangle$ Hermitiana e non degenere ($\langlev,w\rangle=bar{\langlew,v\rangle}$ e tale che ogni $v$ per cui $\langlev, w\rangle=0$ per tutti i $w\inV$ è $v=0$), possiamo rifare tutto il discorso di sopra. Ovvero, data una forma sesquilineare $phi$, esistono unici due endomorfismi $A, B$ tali che $phi(v,w)=\langleA(v), w\rangle=\langlev, B(w)\rangle$. Ma come posso dimostrarlo? Il discorso di sopra è caduto perché $\langle,\rangle$ non determina isomorfismi di $V$ sul suo duale a causa della antilinearità.

Risposte
Chevtchenko
Sesquilineari = lineari una volta e mezzo... :-D

Al momento posso soltanto rinviarti al Bourbaki, che tratta molto approfonditamente il tuo argomento in un capitolo a parte.

dissonance
"Chevtchenko":

Al momento posso soltanto rinviarti al Bourbaki, che tratta molto approfonditamente il tuo argomento in un capitolo a parte.

Il Bourbaki è davvero troppo per me :) . Invece ho ripiegato sul manuale di algebra lineare del mio eroe preferito, Serge Lang, e anche stavolta non mi ha deluso. Al §42 (mi riferisco all'edizione italiana 1984) si parla proprio di questo argomento.
Superate alcune difficoltà tecniche (in fondo una forma sesquilineare non è bilineare) emerge abbastanza chiaramente ciò che ci serviva: ogni forma sesquilineare (in dimensione finita) è associata a due endomorfismi dalla $phi(v,w)=\langleAv, w\rangle=\langlev, Bw\rangle$ e chiameremo $B=A^H$ (operatore aggiunto). Qui ho indicato con $\langle,\rangle$ un qualunque prodotto Hermitiano non degenere (non serve nemmeno che sia definito positivo). Risulta infine che $phi$ è Hermitiana se e solo se lo sono $A$ e $B$.

Non scendo nei dettagli perché l'idea di fondo è la stessa del caso bilineare, ci sono solo da superare alcune difficoltà tecniche. A mio avviso è una cosa interessante. A parte il fatto che diventa più comodo gestire le forme bi/sesqui - lineari (pure Lang, dopo aver fatto questa trattazione, non parla più in termini di $phi(v,w)$ ma solo di $\langleAv, w\rangle$), questo fatto spiega il perché queste forme siano rappresentabili con matrici. Inoltre dà anche un senso all'operazione di trasposizione e di trasposizione coniugata.

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