Rappresentazione del complemento ortogonale mediante riferimento ortonormale di uno spazio vettoriale.

[p.v.141]

Buonasera, sto studiando la seguente proposizione

Proposizione:
Siano $W\subseteqW'$ sottospazi vettorali di V, con $dimW=h$, $dimW'=c$.
Esiste un riferimento ortonormale di $V$ in cui il complemento ortogonale di $W$ in $W'$ è rappresentato dal sistema

$x_1=cdots=x_h=x_(c+1)=cdots=0$

Prima di iniziare la dimostrazione, riporto un'altra proposizione che viene citata nella dimostrazione, e cioè

Sia fissato un riferimento ortonormale $B$ di $V$.
Sia $Ax=0$ una rappresentazione di un sottospazio $W$ di $V$ in $B$.
Allora le righe della matrice $A$ sono i vettori coordinati in $B$ di una base di $W^{\bot}$.

e riporto anche le definizioni di complemento ortogonale che possono ritornare utile

Siano $W\subseteqW'$ sottospazi vettoriali di $V$ il complemento ortogonale di $W$ in $W'$ è $W^{\bot}={w'\inW'\:\\=0, w \in W}$

Sia $W\subseteqV$ sottospazio vettoriale di $V$ il complemento ortogonale di $W$ è $W^{\bot}={v\inV\:\\=0, w \in W}$

Quello che troverete in corsivo sono commenti che aggiungo io, perché, se ci fosse qualcosa di insensato mi correggereste.

Dimostrazione:

Sia $R=(u_1,cdots,u_h)$ riferimento ortonormale di $W$. Quest'ultimo è possibile completarlo ad un riferimento ortonormale di $W'$, cioè si ha $R'=(u_1,cdots,u_h,cdots,u_c)$. In procedendo in modo analogo si ottiene un riferimento ortonormale di $V$, cioè si ha $B=(u_1,cdots,u_h,cdots,u_c,cdots,u_n)$.

Ricordo che rappresentare $W$ in $B$ significa determinare delle condizioni necessarie e sufficienti a cui devono soddisfare le componenti in $B$ di un vettore $w$ affinché appartenga $W$, quindi, si ha

$u \in W \leftrightarrow u=x_1u_1+cdots+x_hu_h=x_1u_1+cdots+x_hu_h+0u_{h+1}+cdots+0u_c+cdots+0u_n$

per cui si ha $x_{h+1}=cdots=x_n=0$

Questa è la parte che non ho capito:
Tenendo conto della proposizione, si vede che una rappresentazione di $W^{\bot}$ è $x_1=cdots=x_h=0$
L'asserto si ottiene allora tenendo conto che il complemento ortogonale di $W$ in $W'$ è il sottostazione $W'capW^{\bot}$, e che $W'$ è rappresentato in $B$ dal sistema $x_{c+1}=cdots=x_n=0$.

La parte che non mi è chiara come già detto è quella in rosso.

Spero che qualcuno mi riesca a chiarire il mio dubbio.

Ciao

[otta96]

Prova a impostare la condizione di $u\inW^\bot$ in base allo sviluppo di $u$.

[p.v.141]

Buongiorno

Condizione:

$u in \W^{\bot} \leftrightarrow u\botw, \ forall w \in \ W \leftrightarrow \=0, \forall w\in W$

Lo sviluppo di $u$ rispetto alla base $B$ è $u=\sum_{i=1}^n x_iu_i$.

Considero $w\inW$, allora, riassumendo si dovrebbe trovare questo

$\=$
$\qquad\ qquad \ qquad\qquad \=<\sum_{i=1}^n x_iu_i,w>$
$\qquad\ qquad \ qquad\qquad \=\sum_{i=1}^n x_i$
$\qquad\ qquad \ qquad\qquad \=x_1+cdots+x_h+cdots+x_c+cdots+x_n\=0$.

Ora provo a dare un mio punto di vista
Supponendo che $w$ sia non nullo, si ha $\ne 0$ per ogni $j$ perché gli $u_j$ sono vettori del riferimento $B$ e quindi sono non nulli.
La dimensione di $W^{\bot}$ è $n-h$, allora nella scrittura precedente, quella estesa, ci sono vettori superflui, e sono in numero $h$.
Dunque, a meno di rinominazioni, affinché il vettore $u$ sia un elemento di $W^{\bot}$ si deve imporre $x_i=0$ per $i=1,cdots,h$

Può andare bene?

[otta96]

"p.v.14":Supponendo che $w$ sia non nullo, si ha $\ne 0$ per ogni $j$ perché gli $u_j$ sono vettori del riferimento $B$ e quindi sono non nulli.

Non proprio, $u_j$ e $w$ potrebbero essere ortogonali, poni piuttosto $w$ uguale a $u_j$ a turno così concludi che $x_j=0$ per i $j$ tali che $u_j\inW$.

[p.v.141]

Allora io ho questo

$ \=x_1+cdots+x_h+cdots+x_c+cdots+x_n $

mi stai dicendo di prendere $w$ uguale a qualche $u_j$? quindi, per semplicità, prendo $u_1$ sostituisco all'interno della combinazione

$ \=x_1+cdots+x_h+cdots+x_c+cdots+x_n $

essendo $B$ riferimento ortonormale si ha $ \=x_1$.

Non sto capendo, non riesco a vedere il collegamento con l'affermazione fatta dal libro, quella in rosso.

Non si può procedere cosi come stato fatto per $W$, cioè, Io ho il riferimento $B$ di $V$ ottenuto mediante completamento, lo stesso contiene un riferimento di $W^{\bot}$ ed è $R'=(u_{h+1},cdots,u_c,cdots,u_n)$, quindi, $W^{\bot}=Span(u_{h+1},cdots,u_c,cdots,u_n)$.

Quindi, ora procedendo come fatto per $W$, cioè, devo determinare delle condizione necessarie e sufficienti a cui devono soddisfare le componenti in $B$ di un vettore $w'$ affinché appartenga a $W^{\bot}$, allora

$w' \in W^{bot} \leftrightarrow u=x_{h+1}u_{h+1}+cdots+u_cx_c+cdots+u_nx_n$
$\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ qquad \ =0u_1+cdots+0u_h+x_{h+1}u_{h+1}+cdots+u_cx_c+cdots+u_nx_n$

quindi si ha quello che dice lui

[otta96]

"p.v.14":essendo $B$ riferimento ortonormale si ha $ \=x_1$.

Non sto capendo, non riesco a vedere il collegamento con l'affermazione fatta dal libro, quella in rosso.

E quale dicevamo essere la condizione di appartenenza? $ =0$, quindi diventa $x_1=0$.

[p.v.141]

Questo lo vedo, cioè che $x_1$ è nullo, però, non riesco a vederela relazione che c'è fra l'affermazione fatta dal libro con questo modo di ragionare.
La tesi del libro dice le righe della matrice sono vettori coordinati in un riferimento ortonormale di una base del complemento ortogonale, questo significa dire, correggimi se sbaglio, $c_B(u_j)=A^j$, dove $u_j$ è un vettore del riferimento del complemento ortogonale, invece, $A^j$ è la riga j-esima della matrice $A$ la quale è la matrice di rappresentazione cartesiana di $W$, cioè $Ax=0$ è la rappresentazione cartesiana di $W$ in $B$.

Quindi,

\(\displaystyle Ax=0 \leftrightarrow
\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 & \cdots & \cdots & 0
\\
\vdots &\ddots & \cdots & \cdots & \cdots & \vdots
\\
0&\cdots & 0 & \cdots &\cdots & 0
\\
0 &\cdots & 0 & 1 & \cdots & 0
\\
\vdots &\ddots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots
\\
0 & \cdots &0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1
\\
\vdots
\\
x_{h-1}
\\
x_h
\\
\vdots
\\
x_n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0
\\
\vdots
\\
0
\\
0
\\
\vdots
\\
0
\end{bmatrix}
\)

[otta96]

Io non ho letto tutto il messaggio inizale mi sono concentrato sull'unica cosa in cui avevi dei dubbi, e non capisco se hai risolto o no, cioè se hai capito che $x_1=0$, $w$ può essere anche gli altri $u_j$ fino ad $h$, quindi anche gli $x_j$ fino ad $h$ sono $0$. Ti torna?
Se hai un altro dubbio dimmi qual è che non l'ho capito.

[p.v.141]

Non ho capito il nesso che c'è tra la proposizione che viene usata, se leggi il messaggio all'inizio l'ho scritta, con la rappresentazione del complemento ortogonale $W^{\bot}$

[otta96]

In realtà non lo capisco nemmeno io.