Rappresentazione cartesiana giusta del sottospazio vettoriale
Salve,
ho riscontrato un esercizio che il prof non ha spiegato ma chiede nell'esame.
Trovare la giusta rappresentazione cartesiana di un sottospazio di dimensione =3 in R^5 :
x+y+z+t+u=0
x-y+3t+u= 0
x+y-2z+t+u=3
x-y+3t+4u=0
x+y-2z+t+u=0
2x+2y-4z+2t+2u=0
x+y+3z+t+u=0
x-y+3t+u=0x+y-z+t+u=0
Apparte un'idea sul prendere il numero di equazioni cartesiane come dimensione (e qui mi sono reso conto che era prorio sbagliato).
La mia idea era quella di trasformarle in equazioni parametriche, da cui trarre una matrice e calcolarne il rango che faccia 3. Penso che non sia il processo giusto neanche questo. Avreste idea di come risolverlo nel modo più veloce?
Grazie e cordiali saluti
ho riscontrato un esercizio che il prof non ha spiegato ma chiede nell'esame.
Trovare la giusta rappresentazione cartesiana di un sottospazio di dimensione =3 in R^5 :
x+y+z+t+u=0
x-y+3t+u= 0
x+y-2z+t+u=3
x-y+3t+4u=0
x+y-2z+t+u=0
2x+2y-4z+2t+2u=0
x+y+3z+t+u=0
x-y+3t+u=0x+y-z+t+u=0
Apparte un'idea sul prendere il numero di equazioni cartesiane come dimensione (e qui mi sono reso conto che era prorio sbagliato).
La mia idea era quella di trasformarle in equazioni parametriche, da cui trarre una matrice e calcolarne il rango che faccia 3. Penso che non sia il processo giusto neanche questo. Avreste idea di come risolverlo nel modo più veloce?
Grazie e cordiali saluti
Risposte
Non la 2) perché, a vista, il vettore nullo non vi appartiene.
Non la 3) perché, a vista, le due equazioni sono dipendenti (dimensione 4).
Non la 4) perché le tre equazioni sono indipendenti (dimensione 2):
Non la 3) perché, a vista, le due equazioni sono dipendenti (dimensione 4).
Non la 4) perché le tre equazioni sono indipendenti (dimensione 2):
$rango[[1,1,3,1,1],[1,-1,0,3,1],[1,1,-1,1,1]]=3$
"anonymous_0b37e9":
Non la 2) perché, a vista, il vettore nullo non vi appartiene.
Non la 3) perché, a vista, le due equazioni sono dipendenti (dimensione 4).
Non la 4) perché le tre equazioni sono indipendenti (dimensione 2):
$rango[[1,1,3,1,1],[1,-1,0,3,1],[1,1,-1,1,1]]=3$
Ciao, ma allora l'idea a cui ho pensato era giusta? La risposta giusta è la prima, corretto, ma che passaggi esatti hai fatto esattamente?
Per escludere la 2) a vista, è sufficiente osservare che la presenza di un termine noto in una delle equazioni non consente al vettore nullo di appartenere al sottospazio.
Per escludere la 3) a vista, è sufficiente osservare che il primo membro della seconda equazione è il doppio del primo membro della prima, ergo, le due equazioni sono dipendenti e la dimensione del sottospazio è 4.
Per escludere la 4) non è possibile concludere a vista. Tuttavia, è sufficiente determinare il rango della matrice del mio primo messaggio. Poiché il rango è 3, le equazioni sono indipendenti e la dimensione del sottospazio è 2.
Per escludere la 3) a vista, è sufficiente osservare che il primo membro della seconda equazione è il doppio del primo membro della prima, ergo, le due equazioni sono dipendenti e la dimensione del sottospazio è 4.
Per escludere la 4) non è possibile concludere a vista. Tuttavia, è sufficiente determinare il rango della matrice del mio primo messaggio. Poiché il rango è 3, le equazioni sono indipendenti e la dimensione del sottospazio è 2.
"anonymous_0b37e9":
Per escludere la 2) a vista, è sufficiente osservare che la presenza di un termine noto in una delle equazioni non consente al vettore nullo di appartenere al sottospazio.
Per escludere la 3) a vista, è sufficiente osservare che il primo membro della seconda equazione è il doppio del primo membro della prima, ergo, le due equazioni sono dipendenti e la dimensione del sottospazio è 4.
Per escludere la 4) non è possibile concludere a vista. Tuttavia, è sufficiente determinare il rango della matrice del mio primo messaggio. Poiché il rango è 3, le equazioni sono indipendenti e la dimensione del sottospazio è 2.
Molto più chiaro ora grazie! In genere per questi tipi di domande devo cercare o quelle con eq. indipendenti,a vista come dici tu, o trovare la dimensione = n coefficienti - rango, però quest'ultimo è un procedimento che può richiedere passaggi in più
"DriveKnight":
... è un procedimento che può richiedere passaggi in più ...
Basta trovare un minore $3xx3$ con determinante diverso da zero (le prime 3 colonne, quasi immediato con Sarrus). Insomma, eviterei di determinare il rango con il metodo di Gauss. Ammesso e non concesso che tu ti stia riferendo a questo.
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