Rango, segnatura e cono isotropo
Salve ragazzi, mi sono trovato di fronte a questo esercizio che, purtroppo, non riesco a svolgere.
Potreste indicarmi, gentilmente,qualche metodo risolutivo?
Sia $q:RR^3→RR$ la forma quadratica de finita da
$q(x;y;z)=2x^2+2y^2+4xy−2xz$.
(a) Determinare il rango e la segnatura di $q$.
(b) Considerato il sottospazio $V=<(1;−1;0);(1;0;0)>$ di $RR^3$, si determino il rango,
la segnatura e il cono isotropo di $q|V$ .
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto
Potreste indicarmi, gentilmente,qualche metodo risolutivo?
Sia $q:RR^3→RR$ la forma quadratica de finita da
$q(x;y;z)=2x^2+2y^2+4xy−2xz$.
(a) Determinare il rango e la segnatura di $q$.
(b) Considerato il sottospazio $V=<(1;−1;0);(1;0;0)>$ di $RR^3$, si determino il rango,
la segnatura e il cono isotropo di $q|V$ .
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto
Risposte
Nessuno è in grado di aiutarmi? Se sapessi scrivere la matrice relativa a $q$ sarei in grado di trovarmi rango e segnatura ad esempio.
Ciao luciavirgi 
Credo che un modo possibile di procedere sia questo:
Fissi una base di $ R^3 $ e ti calcoli la matrice associata alla forma quadratica in questa base. Se scegli la cononica, per fare questo scrivi la tua forma quadratica in questo modo $ q(x,y,z)=2x^2+2y^2+2xy+2xy-xz-xz $. I termini al quadrato hanno come coefficiente gli $ a_(ii) $ mentre i termini misti sono gli altri elementi(esempio $ a_(12)=2=a_(21) $). Poichè siamo in presenza di una forma quadratica la matrice sarà simmetrica.
Alla fine dovresti avere $ ( ( 2 , 2 , -1 ),( 2 , 2 , 0 ),( -1 , 0 , 0 ) ) $.
Se vuoi poi ti scrivo anche un' altro metodo.
Ciao!
Credo che un modo possibile di procedere sia questo:
Fissi una base di $ R^3 $ e ti calcoli la matrice associata alla forma quadratica in questa base. Se scegli la cononica, per fare questo scrivi la tua forma quadratica in questo modo $ q(x,y,z)=2x^2+2y^2+2xy+2xy-xz-xz $. I termini al quadrato hanno come coefficiente gli $ a_(ii) $ mentre i termini misti sono gli altri elementi(esempio $ a_(12)=2=a_(21) $). Poichè siamo in presenza di una forma quadratica la matrice sarà simmetrica.
Alla fine dovresti avere $ ( ( 2 , 2 , -1 ),( 2 , 2 , 0 ),( -1 , 0 , 0 ) ) $.
Se vuoi poi ti scrivo anche un' altro metodo.
Ciao!
Va benissimo questo. Grazie mille
e $q|V$ come si trova?
Ciao
$ q|V $ lo puoi trovare così: sappiamo che se $ q $ è una forma quadratica $ rArr $ esiste un prodotto scalare tale che $ q(v)=phi(v,v) $ o come nel nostro caso, cioè se ho dei vettori "numerici", $ q(x,y,z)=phi({x,y,z},{x,y,z})=(x,y,z)A (x,y,z)^t $ con $ A $ che è la matrice da trovare. Allora preso un generico vettore di $ V $, che sarà del tipo $ (x+y,-y) $(l'ultima coordinata puoi anche non metterla tanto non è rilevante), si ha che $ (x+y,-y)((a_(11), a_(12)),(a_(12), a_(22)))(x+y,-y)^t =2x^2+2y^2+4xy $. Alla fine usi il principio d'identità dei polinomi e dovresti trovare che $ A=((2,0),(0,0)) $.
Chiedi pure se qualcosa non ti è chiaro.
$ q|V $ lo puoi trovare così: sappiamo che se $ q $ è una forma quadratica $ rArr $ esiste un prodotto scalare tale che $ q(v)=phi(v,v) $ o come nel nostro caso, cioè se ho dei vettori "numerici", $ q(x,y,z)=phi({x,y,z},{x,y,z})=(x,y,z)A (x,y,z)^t $ con $ A $ che è la matrice da trovare. Allora preso un generico vettore di $ V $, che sarà del tipo $ (x+y,-y) $(l'ultima coordinata puoi anche non metterla tanto non è rilevante), si ha che $ (x+y,-y)((a_(11), a_(12)),(a_(12), a_(22)))(x+y,-y)^t =2x^2+2y^2+4xy $. Alla fine usi il principio d'identità dei polinomi e dovresti trovare che $ A=((2,0),(0,0)) $.
Chiedi pure se qualcosa non ti è chiaro.
Grazie perché il generico vettore di $V$ lo prendo del tipo $(x+y, -y)$?
perché il generico vettore di $V$ lo prendo del tipo $(x+y, -y)$?
Ho capito, ho capito. Grazie mille
E un cono isotropo come si determina?
Ciao luciavirgi:)
Scusa però questo non so come risolverlo:(
Scusa però questo non so come risolverlo:(
Va bene, grazie comunque per la disponibilità
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