Rango prodotto di matrici
Sia $A\inM_(mxk)(CC)$ e sia $rk(A)=k$. Allora $rk(\barA^TA)=rk(A\barA^T)=rk(A)=k$, dove $\barA^T$ indica la trasposta coniugata di $A$.
Innanzitutto non mi è chiaro perchè $rk(\barA^TA)=rk(A\barA^T)$.
In generale $rk(BC)!=rk(CB)$, basti pensare a $B=((1,0),(0,0))$ e $C=((0,1),(0,0))$.
Dunque perchè nelle ipotesi che ho scritto sopra sono sicuro che cambiando l'ordine del prodotto il rango non cambia?
Innanzitutto non mi è chiaro perchè $rk(\barA^TA)=rk(A\barA^T)$.
In generale $rk(BC)!=rk(CB)$, basti pensare a $B=((1,0),(0,0))$ e $C=((0,1),(0,0))$.
Dunque perchè nelle ipotesi che ho scritto sopra sono sicuro che cambiando l'ordine del prodotto il rango non cambia?
Risposte
Trasponendo e coniugando il rango non cambia! 
Oppure ho fatto male qualche calcolo?
Oppure ho fatto male qualche calcolo?
Trasponendo e coniugando la matrice $\barA^TA$ ottengo $(\bar(barA^TA))^T=\barA^TA$, cioè la matrice $\barA^TA$ è hermitiana.
Io invece devo passare dal rango di $\barA^TA$ al rango di $A\barA^T$...
Io invece devo passare dal rango di $\barA^TA$ al rango di $A\barA^T$...
Essendo hermitiana è diagonalizzabile ed ha solo autovalori reali; quindi una possibile soluzione passerebbe nel dimostrare che non ha autovalore \(\displaystyle0\)...
Oppure, scritta una decomposizione come prodotto di matrici unitarie e diagonali delle date matrici hermitiane, vedere se si possono evincere delle proprietà...
Scusami se ti do solo suggerimenti, ma non posso fare molto per ora!
Oppure, scritta una decomposizione come prodotto di matrici unitarie e diagonali delle date matrici hermitiane, vedere se si possono evincere delle proprietà...
Scusami se ti do solo suggerimenti, ma non posso fare molto per ora!
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