Rango matrici
Buongiorno, ho il seguente sistema lineare \( \begin{cases} x_1+x_2+2x_3 = 5 \\ 3x_1-2x_2+x_3=0 \\ 7x_1-3x_2+4x_3=6 \end{cases} \) di cui devo calcolare il rango (per poi poter utilizzare il teorema di Rouche-Capelli).
Il rango della matrice incompleta (cioè quella con i soli coefficienti) è 2. Fin qui niente di particolare.
Nel momento in cui associo i termini noti (e cioè ottengo la matrice completa) il rango dovrebbe essere 3. Da quello che so però i termini noti non possono essere dei pivot e quindi il rango non dovrebbe cambiare a prescindere. In ogni caso, calcolando comunque il rango della matrice completa con Gauss, ottengo 2 pivot (in quanto la prima equazione si elimina completamente) e ciò è sbagliato. Cosa sbaglio??
Il rango della matrice incompleta (cioè quella con i soli coefficienti) è 2. Fin qui niente di particolare.
Nel momento in cui associo i termini noti (e cioè ottengo la matrice completa) il rango dovrebbe essere 3. Da quello che so però i termini noti non possono essere dei pivot e quindi il rango non dovrebbe cambiare a prescindere. In ogni caso, calcolando comunque il rango della matrice completa con Gauss, ottengo 2 pivot (in quanto la prima equazione si elimina completamente) e ciò è sbagliato. Cosa sbaglio??
Risposte
"Lorenzo_99":
Da quello che so però i termini noti non possono essere dei pivot e quindi il rango non dovrebbe cambiare a prescindere.
Sì, possono essere dei pivot ovvero in tal caso il sistema non ha soluzioni.
Il rango della matrice completa è $3$
Riducendo con Gauss io giungo a questa:
$((1,1,2,|,5),(0,1,1,|,3),(0,0,0,|,1))$
Riducendo con Gauss io giungo a questa:
$((1,1,2,|,5),(0,1,1,|,3),(0,0,0,|,1))$
"axpgn":
[quote="Lorenzo_99"]Da quello che so però i termini noti non possono essere dei pivot e quindi il rango non dovrebbe cambiare a prescindere.
Sì, possono essere dei pivot ovvero in tal caso il sistema non ha soluzioni.[/quote]
Quindi in realtà, almeno in questo caso, basterebbe ridurre con Gauss per vedere che il sistema non ha soluzioni senza dover calcolare il rango o utilizzare il teorema di Rouché-Capelli. Corretto?
Inoltre, dato che i termini noti possono essere dei pivot, devo considerare anche loro quando riduco a scala? Nel senso, se la parte a destra dei termini noti non rispetta la scala della parte sinistra è un problema?
"axpgn":
Il rango della matrice completa è $ 3 $
Riducendo con Gauss io giungo a questa:
$ ((1,1,2,|,5),(0,1,1,|,3),(0,0,0,|,1)) $
Rifacendo di nuovo i conti ottengo $ ((1,1,2,|,5),(0,-1,-1,|,-3),(0,0,0,|,1)) $.
Ho sottratto alla terza riga due volte la seconda e una volta la prima. Alla seconda riga invece ho sottratto tre volte la prima. Alla fine ho diviso la seconda riga per 5. È normale che comunque venga diverso?
Non è diverso, è lo stesso.
Le mosse di Gauss sono reversibili ovvero quando parti da una matrice $A$ e arrivi ad una matrice $B$ usando solo le mosse di Gauss puoi fare lo stesso da $B$ a $A$ e questo vale ad ogni passaggio (ad ogni mossa).
E siccome le matrici ottenute in questo modo (cioè con le mosse di Gauss) sono equivalenti per quanto riguarda le soluzioni del sistema, puoi usare una qualsiasi delle matrici che ottieni nei vari passaggi per calcolarti le soluzioni.
Tra la mia e la tua c'è una sola mossa di Gauss (quale?
).
Sempre è sufficiente usare Gauss e ridurre a scalini la matrice per trovare facilmente il rango e le soluzioni (meglio se nella forma Gauss-Jordan cioè applicare le mosse anche "all'indietro" quando si arriva alla matrice a scalini)
Quando riduci, devi farlo su tutta la matrice, non un pezzo alla volta … voglio dire ridurre prima quella incompleta e poi quella completa significa fare un doppio lavoro (a meno che non ti serva ai fini del problema in esame)
E poi ricorda che una matrice è sempre una matrice ma non è un sistema di equazioni; le due cose possono essere correlate ( ed anche strettamente) ma sono due oggetti diversi
Cordialmente, Alex
Le mosse di Gauss sono reversibili ovvero quando parti da una matrice $A$ e arrivi ad una matrice $B$ usando solo le mosse di Gauss puoi fare lo stesso da $B$ a $A$ e questo vale ad ogni passaggio (ad ogni mossa).
E siccome le matrici ottenute in questo modo (cioè con le mosse di Gauss) sono equivalenti per quanto riguarda le soluzioni del sistema, puoi usare una qualsiasi delle matrici che ottieni nei vari passaggi per calcolarti le soluzioni.
Tra la mia e la tua c'è una sola mossa di Gauss (quale?
)."Lorenzo_99":
Quindi in realtà, almeno in questo caso, basterebbe ridurre con Gauss per vedere che il sistema non ha soluzioni
Sempre è sufficiente usare Gauss e ridurre a scalini la matrice per trovare facilmente il rango e le soluzioni (meglio se nella forma Gauss-Jordan cioè applicare le mosse anche "all'indietro" quando si arriva alla matrice a scalini)
"Lorenzo_99":
Inoltre, dato che i termini noti possono essere dei pivot, devo considerare anche loro quando riduco a scala? Nel senso, se la parte a destra dei termini noti non rispetta la scala della parte sinistra è un problema?
Quando riduci, devi farlo su tutta la matrice, non un pezzo alla volta … voglio dire ridurre prima quella incompleta e poi quella completa significa fare un doppio lavoro (a meno che non ti serva ai fini del problema in esame)
E poi ricorda che una matrice è sempre una matrice ma non è un sistema di equazioni; le due cose possono essere correlate ( ed anche strettamente) ma sono due oggetti diversi
Cordialmente, Alex
"axpgn":
[quote="Lorenzo_99"]Inoltre, dato che i termini noti possono essere dei pivot, devo considerare anche loro quando riduco a scala? Nel senso, se la parte a destra dei termini noti non rispetta la scala della parte sinistra è un problema?
Quando riduci, devi farlo su tutta la matrice, non un pezzo alla volta … voglio dire ridurre prima quella incompleta e poi quella completa significa fare un doppio lavoro (a meno che non ti serva ai fini del problema in esame)
[/quote]
Nono, non intendevo dire di ridurre le due matrici in modo separato (e svolgendo quindi dei calcoli di troppo). Quello che volevo dire è che di solito per ottenere un sistema a scala mi limitavo a controllare che la parte sinistra fosse a scala pensando che la parte dei termini noti "non contasse". Mentre invece devo fare in modo che sia la parte destra che la parte sinistra siano a scala come se fosse un'unica matrice. Giusto?
Sì, giusto.
Se il riferimento della matrice è un sistema di equazioni non ha senso "tralasciare" la colonna dei termini noti.
Per esempio, come ho detto prima, sapere che la colonna dei termini noti è una colonna pivot ti dice immediatamente che il sistema non ha soluzioni. Meglio di così …
Se il riferimento della matrice è un sistema di equazioni non ha senso "tralasciare" la colonna dei termini noti.
Per esempio, come ho detto prima, sapere che la colonna dei termini noti è una colonna pivot ti dice immediatamente che il sistema non ha soluzioni. Meglio di così …
"axpgn":
Sì, giusto.
Se il riferimento della matrice è un sistema di equazioni non ha senso "tralasciare" la colonna dei termini noti.
Per esempio, come ho detto prima, sapere che la colonna dei termini noti è una colonna pivot ti dice immediatamente che il sistema non ha soluzioni. Meglio di così …
Perfetto ho capito, grazie mille
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