Rango matrice al variare di un parametro

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6 mag 2010, 20:03

determinare il rango al variare di $a$
$M=[[2,a,0,1],[0,a+1,-1,a],[1,-2a,-2,0]]$
trovo che $|(0,-1),(1,-2)|$ è diverso da zero quindi ha almeno rango 2

orlandola trovo $A=[[2a,0,1],[0,-1,a],[1,-2,0]]$ il cui determinante utilizzando Laplace risulta $4a^2+1$

e $B=[[2a,a,0],[0,a+1,-1],[1,-2a,-2]]$ il cui determinante (sempre con Laplace) risulta $a(-8a-5)$.
Il determinante di A non si annulla mai mentre B si annulla per a=0 o a=-5/8.
Il libro mi da come risultato che per $AA$a$in$$RR$ il rango di M è uguale a 3 mentre a me risulta che è uguale a 3 per a≠0 o a≠-5/8, ho sbagliato qualcosa?

Risposte

Relegal

6 mag 2010, 18:12

Se non sbaglio, per concludere che una matrice ha rango $m$ è sufficiente trovare un minore di ordine $m$ che abbia determinante non nullo. Nel tuo caso hai trovato un minore di ordine tre con determinante sempre positivo, per cui il rango è $3$.
Non importa se esiste un altro minore di ordine tre con determinante nullo.

_overflow_1

6 mag 2010, 18:14

ciao...

eh no ti stai sbagliando, infatti come tu stesso hai detto l'orlato $A$ non si annulla per nessun valore di a, quindi ad esempio anche se hai che $a=0$ si annullerà l'orlato $B$ ma non $A$ infatti per $a=0$ $det(A)$ sarà uguale a $1$ ciò implica che il rango della matrice è tre per qualunque valore di a, spero di essermi spiegato bene, avresti potuto dire che $rank(M)=2$ se ad esempio c'era un valore che annullava i due orlati contemporaneamente allora per quel valore il rango della matrice sarebbe stato 2...
Se non ti è ancora chiaro chiedi pure...

PS: scusa Relegal ma non avevo visto che avevi già risposto