Rango matrice
Devo calcolare il rango di una matrice.... ad esempio 7 x 5, senza ricorrere alal riduzione a scalini e considerando i minori non nulli. Il rango può essere minore o uguale a 5. Per vedere se ha rango 5 devo controllare che fra i $C(7,5)=21$ minori di ordine 5 estratti dalla matrice ve ne sia uno non nullo? Ma non è un po' troppo laborioso in caso di sfortuna (cioè nel caso siano tutti nulli tranne il ventunesimo preso in considerazione) rispeto alal riduazione a scalini? Oppure il procedimento che ho scritto io è sbagliato ed ho capito male la teoria?
[Scusate se ci sono errori di terminologia, per favore correggeteli]
[Scusate se ci sono errori di terminologia, per favore correggeteli]
Risposte
Karl... se ci sei batti un colpo........
Ciò che dici è corretto.
Per "metodo a scalini" intendi quello di Gauss?
Se così fosse, certamente il calcolo dei minori è laborioso.
Sinceramente, non credo di avere le conoscenze per proporti strade alternative.
Per "metodo a scalini" intendi quello di Gauss?
Se così fosse, certamente il calcolo dei minori è laborioso.
Sinceramente, non credo di avere le conoscenze per proporti strade alternative.
Si, intendo quello di Gauss....
L'altro metodo ritengo che sia sconveniente se non si ha un colpo d'occhio che individui il minore opportuno!
Domanda da ignorante: Ma a cosa mi serve calcolare il rango di una matrice?!?!?!?!?
L'altro metodo ritengo che sia sconveniente se non si ha un colpo d'occhio che individui il minore opportuno!
Domanda da ignorante: Ma a cosa mi serve calcolare il rango di una matrice?!?!?!?!?
Ha diversi significati.
Ad esempio, se il rango è massimo, la matrice ammette almeno un'inversa.
Le matrici quadrate, se hanno rango massimo, ammettono un'inversa. Se questa esiste, è unica, cioè è uguale sia a destra che a sinistra.
Le matrici non quadrate, se di rango massimo, ammettono infinite inverse ma solo a destra o solo a sinistra, a seconda che abbiano più righe o più colonne.
Il rango è il numero di vettori linearmente indipendenti che compongono la matrice.
Per il motivo detto sopra, il rango è la dimensione della base generatrice del sottospazio descritto dalla matrice.
Il rango è utilizzato per determinare se un sistema lineare ammette soluzioni e se è determinato.
E molto altro...
Ad esempio, se il rango è massimo, la matrice ammette almeno un'inversa.
Le matrici quadrate, se hanno rango massimo, ammettono un'inversa. Se questa esiste, è unica, cioè è uguale sia a destra che a sinistra.
Le matrici non quadrate, se di rango massimo, ammettono infinite inverse ma solo a destra o solo a sinistra, a seconda che abbiano più righe o più colonne.
Il rango è il numero di vettori linearmente indipendenti che compongono la matrice.
Per il motivo detto sopra, il rango è la dimensione della base generatrice del sottospazio descritto dalla matrice.
Il rango è utilizzato per determinare se un sistema lineare ammette soluzioni e se è determinato.
E molto altro...
Il principio dei minori orlati è senza dubbio il migliore.
Se tu hai una matrice A (5x7) individua subito una sottomatrice quadrata (ad esempio B) di ordine 2x2.
se det(B) diverso da 0 allora rango(B)=2 e la matrice A ha rango compreso tra 2 e 5.
Dopo questo tu dovrai orlare la matrice B aggiungendo una riga ed una colonna per volta (avrai così una matrice 3x3) così facendo potrai ripetere il ragionamento.. ma è cmq il metodo meno laborioso perchè se tu individui un minore non nullo allora puoi star sicuro di poter evitare di considerare tutti gli altri minori dello stesso ordine.
PS: ti conviene applicarlo solo per le matrici rettangolari. Per le matrici quadrate ti conviene partire dal determinante della matrice stessa.
Il RANGO è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti di una matrice e questa definizione può aiutarti anke a risolvere sistemi di equazioni associando i coefficienti ad una matrice (il num di equazioni del sistema diverranno le righe ed il numero di incoglite le colonne).
In oltre:
1. Se tu hai una matrice 4x4 ed il suo determinante è "non nullo" allora essa avrà rango 4 e sarà invertibile.
2. se hai un sistema di equazioni del tipo Ax=b (A: matrice dei coefficienti e b: vettore dei termini noti) allora il sistema è compatibile SOLO SE rango(A)=rango (A*b) e questo è un vantaggio xkè ti evita di andare a risolvere il sistema.
Il rango è importante come dato, ti facilita le cose perchè ti permette di identificare lo stato degli elementi che compongono la matrice ed il tipo di matrice stessa.
Se tu hai una matrice A (5x7) individua subito una sottomatrice quadrata (ad esempio B) di ordine 2x2.
se det(B) diverso da 0 allora rango(B)=2 e la matrice A ha rango compreso tra 2 e 5.
Dopo questo tu dovrai orlare la matrice B aggiungendo una riga ed una colonna per volta (avrai così una matrice 3x3) così facendo potrai ripetere il ragionamento.. ma è cmq il metodo meno laborioso perchè se tu individui un minore non nullo allora puoi star sicuro di poter evitare di considerare tutti gli altri minori dello stesso ordine.
PS: ti conviene applicarlo solo per le matrici rettangolari. Per le matrici quadrate ti conviene partire dal determinante della matrice stessa.
Il RANGO è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti di una matrice e questa definizione può aiutarti anke a risolvere sistemi di equazioni associando i coefficienti ad una matrice (il num di equazioni del sistema diverranno le righe ed il numero di incoglite le colonne).
In oltre:
1. Se tu hai una matrice 4x4 ed il suo determinante è "non nullo" allora essa avrà rango 4 e sarà invertibile.
2. se hai un sistema di equazioni del tipo Ax=b (A: matrice dei coefficienti e b: vettore dei termini noti) allora il sistema è compatibile SOLO SE rango(A)=rango (A*b) e questo è un vantaggio xkè ti evita di andare a risolvere il sistema.
Il rango è importante come dato, ti facilita le cose perchè ti permette di identificare lo stato degli elementi che compongono la matrice ed il tipo di matrice stessa.
oppure guardi se c'è qualche riga/colonna che non è linearmente indipendente (a volte si vede ad occhio, ma non sempre è facile...)
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