Rango e matrici
Scusate se vi disturbo
ma ho un esercizio senza soluzione e non ho la più pallida idea se sia giusto o meno
Sia $A = ((1 ,a, 0, 0),(0, 1, 3, 0),(2, 0, 0, a))$ trovare il rango di A e il rango della trasposta di A al variare del parametro $ a in RR$
Io ho pensato innanzitutto di ridurre la matrice per righe ottenendo $A = ((1 ,a, 0, 0),(0, 1, 3, 0),(0, 2a, 0, a))$
dopodichè ho notato che $rk(A) = {((3, per, a = 0),(3, per, a != 0))$
E' possibile che sia cosi facile? Per concludere il rango della trasposta è uguale al rabgo della matrice di partenza, no?
ma ho un esercizio senza soluzione e non ho la più pallida idea se sia giusto o meno
Sia $A = ((1 ,a, 0, 0),(0, 1, 3, 0),(2, 0, 0, a))$ trovare il rango di A e il rango della trasposta di A al variare del parametro $ a in RR$
Io ho pensato innanzitutto di ridurre la matrice per righe ottenendo $A = ((1 ,a, 0, 0),(0, 1, 3, 0),(0, 2a, 0, a))$
dopodichè ho notato che $rk(A) = {((3, per, a = 0),(3, per, a != 0))$
E' possibile che sia cosi facile? Per concludere il rango della trasposta è uguale al rabgo della matrice di partenza, no?
Risposte
"baka":
Scusate se vi disturbo
ma ho un esercizio senza soluzione e non ho la più pallida idea se sia giusto o meno
Sia $A = ((1 ,a, 0, 0),(0, 1, 3, 0),(2, 0, 0, a))$ trovare il rango di A e il rango della trasposta di A al variare del parametro $ a in RR$
Io ho pensato innanzitutto di ridurre la matrice per righe ottenendo $A = ((1 ,a, 0, 0),(0, 1, 3, 0),(0, 2a, 0, a))$
dopodichè ho notato che $rk(A) = {((3, per, a = 0),(3, per, a != 0))$
E' possibile che sia cosi facile? Per concludere il rango della trasposta è uguale al rabgo della matrice di partenza, no?
ciao baka
ma chi dovresti disturbare? se uno non vuole rispondere legge e va!
prendi la sottomatrice quadrata:
$A = ((a, 0, 0),(1, 3, 0),(0, 0, a))$
il suo $det$ è $3 a^2$ e quindi per $a$ diverso da $0$ la matrice ha rango $3$
se invece $a=0$, hai:
$A = ((1 ,0, 0, 0),(0, 1, 3, 0),(2, 0, 0, 0))$
e si vede subito a occhio che la terza riga è proporzionale alla seconda
quindi il rango è minore o uguale a due
che non sia mai minore di due direi che si vede
PS: non ho capito cosa vuoi dire dicendo che hai ridotto per righe la matrice
Grazie Fioravante,
io avevo sbagliato dicendo che il rango era uguale a tre sempre e comunque
sto ancora riflettendo su quello che hai scritto
però come mi hai fatto notare, se a è uguale a zero il rango della matrice diventa due
Per quanto riguarda la riduzione
sicuramente a me hanno insegnato un nome non standard, infatti cercando in rete non trovo nulla
comunque si tratta di applicare le tre operazioni elementari di riga per giungere ad una matrice che abbia
in ogni riga non nulla almeno un elemento non nullo al di sotto del quale ci sono tutti zero
io avevo sbagliato dicendo che il rango era uguale a tre sempre e comunque
sto ancora riflettendo su quello che hai scritto
però come mi hai fatto notare, se a è uguale a zero il rango della matrice diventa due
Per quanto riguarda la riduzione
sicuramente a me hanno insegnato un nome non standard, infatti cercando in rete non trovo nulla
comunque si tratta di applicare le tre operazioni elementari di riga per giungere ad una matrice che abbia
in ogni riga non nulla almeno un elemento non nullo al di sotto del quale ci sono tutti zero
"baka":
Per quanto riguarda la riduzione
sicuramente a me hanno insegnato un nome non standard, infatti cercando in rete non trovo nulla
comunque si tratta di applicare le tre operazioni elementari di riga per giungere ad una matrice che abbia
in ogni riga non nulla almeno un elemento non nullo al di sotto del quale ci sono tutti zero
ma allora è come immaginavo: però non capisco che operazioni hai fatto con le righe. Magari hai fatto un errore di calcolo. Forse è:
$A = ((1 ,a, 0, 0),(0, 1, 3, 0),(0, -2a, 0, a))$
Quanto al non capire tutto quello che ho scritto, dimmi (se vuoi) cosa non ti è chiaro
Credo che sia colpa di qualcosa che non ho ancora studiato
Perchè la sottomatrice dovrebbe avere le stesse proprietà della matrice di partenza
e cosa c'entra il determinante con il rango?
L'operazione che ho eseguito è di sostituire ad $R_3 rarr R_3 - 2R_1$, è sbagliata?
Perchè la sottomatrice dovrebbe avere le stesse proprietà della matrice di partenza
e cosa c'entra il determinante con il rango?
L'operazione che ho eseguito è di sostituire ad $R_3 rarr R_3 - 2R_1$, è sbagliata?
"baka":
Perchè la sottomatrice dovrebbe avere le stesse proprietà della matrice di partenza
ti rispondo con una domanda:
il rango di una sottomatrice come è rispetto a quella di partenza?
"baka":
e cosa c'entra il determinante con il rango?
se una matrice quadrata ha il $det$ diverso da zero, allora ha rango massimo
"baka":
L'operazione che ho eseguito è di sostituire ad $R_3 rarr R_3 - 2R_1$, è sbagliata?
baka, perché non controlli quello che scrivi? riguarda il tuo primo post
Grazie Fioravante,
spero di non averti fatto arrabbiare
comunque mi hai fatto capire un paio di cose che mi erano sfuggite
Per quanto riguarda l'operazione di riga, sono proprio un idiota perchè ho scritto che $0 - 2a = 2a$
Per quanto riguarda la sottomatrice non credo di saper rispondere ma ci provo lo stesso
Premettendo che la mia definizione di rango attualmente è "il numero di righe non nulle di una matrice ridotta per righe"
da ciò che hai fatto e da quello che mi hai gentilmente spiegato
ho capito che ha a che fare con l'ordine di una matrice quadrata che abbia determinante non nullo
quindi il rango di una matrice è uguale all'ordine della prima sottomatrice
partendo da quella iniziale che abbia determinante non nullo, va bene come risposta?
spero di non averti fatto arrabbiare
comunque mi hai fatto capire un paio di cose che mi erano sfuggitePer quanto riguarda l'operazione di riga, sono proprio un idiota perchè ho scritto che $0 - 2a = 2a$
Per quanto riguarda la sottomatrice non credo di saper rispondere ma ci provo lo stesso
Premettendo che la mia definizione di rango attualmente è "il numero di righe non nulle di una matrice ridotta per righe"
da ciò che hai fatto e da quello che mi hai gentilmente spiegato
ho capito che ha a che fare con l'ordine di una matrice quadrata che abbia determinante non nullo
quindi il rango di una matrice è uguale all'ordine della prima sottomatrice
partendo da quella iniziale che abbia determinante non nullo, va bene come risposta?
"baka":
Grazie Fioravante,
spero di non averti fatto arrabbiare
ma scherzi?
venendo alla sostanza, lasciamo perdere il determinante, se a quanto pare "non lo puoi ancora usare" (e quindi il mio conto sulla sottomatrice che ha $det$ diverso da zero non lo si può utilizzare). Le argomentazioni teoriche che legano rango (per righe e per colonne) e determinante à meglio che te le vedi con la teoria che farete
basta però fare l'operazione di riduzione e si vede che nella sottomatrice 3 per 3 che avevo preso non spunta fuori nessuna riga nulla
dopo di che, il discorso delle sottomatrici è essenzialmente questo:
se ho una matrice che ha un tot di righe nulle, quelle lo saranno ("a maggior ragione") anche per una sua sottomatrice
quindi se una sottomatrice ha rango $k$, la matrice avrà rango maggiore o uguale a $k$
Ti ringrazio sei stato davvero molto gentile
Comunque al di là della teoria che devo ancora fare,
ho capito cosa volevi dirmi anche se come al mio solito sono sempre lento a capire le cose
Comunque al di là della teoria che devo ancora fare,
ho capito cosa volevi dirmi anche se come al mio solito sono sempre lento a capire le cose
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