Rango e determinante matrice
Buonasera a tutti!
Ho questa matrice:
A= $((1,0,0,-1),(0,0,0,1-k),(0,0,0,0),(-1,1-k^2,0,1))$
Tra i vari quesiti del problema, ce n'è uno in cui devo trovare i k per cui il rango di questa matrice sia 3.
Nelle soluzioni dell'esercizio vedo che dicono che rkA=3 $hArr$ det $((1,0,-1),(0,0,1-k),(0,1-k^2,0))$.
Conosco il legame che c'è tra determinante e rango di una matrice, ma sinceramente in questo caso non capisco come faccia dalla matrice di partenza ad arrivare a questa sottomatrice...togliendo righe e/o colonne non si riesce ad arrivare a questa sottomatrice mi pare. Se qualcuno potesse darmi chiarimenti a riguardo, gliene sarei grato.
Saluti.
Ho questa matrice:
A= $((1,0,0,-1),(0,0,0,1-k),(0,0,0,0),(-1,1-k^2,0,1))$
Tra i vari quesiti del problema, ce n'è uno in cui devo trovare i k per cui il rango di questa matrice sia 3.
Nelle soluzioni dell'esercizio vedo che dicono che rkA=3 $hArr$ det $((1,0,-1),(0,0,1-k),(0,1-k^2,0))$.
Conosco il legame che c'è tra determinante e rango di una matrice, ma sinceramente in questo caso non capisco come faccia dalla matrice di partenza ad arrivare a questa sottomatrice...togliendo righe e/o colonne non si riesce ad arrivare a questa sottomatrice mi pare. Se qualcuno potesse darmi chiarimenti a riguardo, gliene sarei grato.
Saluti.
Risposte
Ci sono una riga e una colonna fatte solo di zeri. Ergo il rango di $A$ equivale a quello del minore relativo alla componente di posizione 3,3 (intersezione tra la riga nulla e la colonna nulla). A quel punto se il determinante di tale minore è diverso da zero (attento: non lo hai scritto!) il rango di tale matrice è 3 e anche quello della matrice originale è lo stesso.
Devo essermi perso qualche passaggio teorico allora...quale sarebbe il minore relativo alla componente di posizione 3,3? Grazie.
Esattamente questo che hai scritto:
$((1,0,-1),(0,0,1-k),(0,1-k^2,0))$, che sarebbe la matrice di partenza privata della colonna e della riga di indice 3 (quelle contenenti solo zeri). In questo caso è stata già fatta una mossa dell'eliminazione di Gauss, sommando la prima e la terza riga della matrice ottenuta.
Anche qui però si ripresenta lo stesso "problema": tutto dipende dal quel $1-k^2$. Se $1-k^2$ fosse uguale a 0, anche qui il determinante sarebbe uguale a zero, e dovresti considerare il minore relativo alla componente (2,3). Se invece $1-k^2$ è diverso da 0, allora hai finito e il rango è uguale a 3.
$((1,0,-1),(0,0,1-k),(0,1-k^2,0))$, che sarebbe la matrice di partenza privata della colonna e della riga di indice 3 (quelle contenenti solo zeri). In questo caso è stata già fatta una mossa dell'eliminazione di Gauss, sommando la prima e la terza riga della matrice ottenuta.
Anche qui però si ripresenta lo stesso "problema": tutto dipende dal quel $1-k^2$. Se $1-k^2$ fosse uguale a 0, anche qui il determinante sarebbe uguale a zero, e dovresti considerare il minore relativo alla componente (2,3). Se invece $1-k^2$ è diverso da 0, allora hai finito e il rango è uguale a 3.
Ti ringrazio molto, avevo ragionato in maniera molto poco intelligente 
ora è chiaro, grazie!
ora è chiaro, grazie!
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