Rango di una matrice e autovalori

[Splair]

Salve a tutti,
mi potreste spiegare, per favore, come si calcola il rango di una matrice??
ho degli esercizi svolti in cui c'è una matrice 10x10 e c'è scritto ad esempio, il rango di questa matrice è 2 perchè si contano le righe linearmente indipendenti...che significa precisamente ?? inoltre c'è un metodo "generale" per trovare gli autovalori di una matrice??
grazie a tutti ..ciao

[_Tipper]

Data una matrice $A$ su campo $\mathcal{K}$, gli autovalori sono tutte e sole le costanti $\lambda \in \mathcal{K}$ tali che la matrice $A - \lambda I$ è singolare.

Per calcolare il rango di una matrice io riduco sempre la matrice a scala (per righe o per colonne, fa lo stesso); il numero di righe, o colonne, dipende rispetto a cosa hai ridotto, diverse dal vettore nullo, è il rango della matrice.

Il rango è infatti la dimensione dello spazio generato dalle righe, o dalle colonne.

[Splair]

Per calcolare il rango di una matrice io riduco sempre la matrice a scala (per righe o per colonne, fa lo stesso); il numero di righe, o colonne, dipende rispetto a cosa hai ridotto, diverse dal vettore nullo, è il rango della matrice.

ok...
scusami ma per una matrice

A =

1 2 1 2 1
0 0 0 0 7
1 2 1 2 1
0 0 0 0 7
1 2 1 2 1

A me viene il rango della matrice =3 poichè dopo averla trasmormata in scala con l'eliminazione di Gauss mi viene:

A=
-1 -2 -1 -2 -1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 7
0 0 0 0 7

il cui numero di righe diverse dal vettore nullo sono 3. ma sugli esercizi c'è scritto 2...dove sbaglio???
Se prendo il numero di pivot sulla diagonale mi trovo perchè sono 2 e quindi rango(A) = 2.
Inoltre:

C =

0 0 0 0 0
0 0 0 0 7
0 0 0 0 0
0 0 0 0 7
0 0 0 0 0

qui il rango quanto è?
grazie mille ciao

[_Tipper]

"Splair":
A=
-1 -2 -1 -2 -1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 7
0 0 0 0 7

Sai qual è il problema? Che questa matrice ancora non è ridotta a scala. Sottraendo alla penultima riga l'ultima otterrai una matrice a scala, e il rango quindi risulta 2.

[_Tipper]

"Splair":C =

0 0 0 0 0
0 0 0 0 7
0 0 0 0 0
0 0 0 0 7
0 0 0 0 0

qui il rango quanto è?

Alla seconda riga sottrai la quarta, il rango quindi è 1.

[Splair]

ma trasformarla a scala non significa avere tutti zero sotto la diagonale???
scusa la mia ignoranza...
grazie

[_Tipper]

Non proprio; io molte volte ho definito una matrice a scala in quel modo, ma mi rendo conto che non è proprio esatto... a scanso di equivoci, posto una parte di una dispensa di Algebra Lineare

[_Tipper]

La matrice che avevi postato non era a scala perché sotto il sette, che era un pivot, ci voleva uno zero.

[_Tipper]

Se non è chiaro provo a spiegarlo per altra via... ordina le righe in modo che il primo elemento non nullo di una riga non sia a destra del primo elemento non nullo della riga successiva.

Il primo elemento non nullo di una riga di chiama pivot. Una matrice è a scala se e solo se gli elementi sotto i pivots sono tutti nulli.

[Splair]

Il primo elemento non nullo di una riga di chiama pivot. Una matrice è a scala se e solo se gli elementi sono i pivots sono tutti nulli.

Ti ringrazio per il tempo che mi stai dedicando...
quindi nella matrice:

C =

0 0 0 0 0
0 0 0 0 7
0 0 0 0 0
0 0 0 0 7
0 0 0 0 0

7 della seconda riga è un pivot, ma essendo il 7 della penultima riga nella posizione del primo pivot va trasformato in 0. giusto??

grazie

[_Tipper]

Prima dovresti scambiare le righe fra di loro

0 0 0 0 7
0 0 0 0 7
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

e poi sottrarre alla prima riga la seconda.

Comunque, all fin fine

"Splair":7 della seconda riga è un pivot, ma essendo il 7 della penultima riga nella posizione del primo pivot va trasformato in 0. giusto??

sì.

[Splair]

ti ringrazio..
dato che ci siamo..come si trovano gli autovalori?

grazie mille

[_Tipper]

Sia $A$ una matrice su campo $\mathcal{K}$; costruisci la matrice $A - \lambda I$, dove $I$ è la matrice identità dello stesso ordine di $A$.

Si chiama polinomio caratteristico di $A$ il determinante di $A - \lambda I$. Le radici del polinomio caratteristico appartenenti a $\mathcal{K}$ sono gli autovalori di $A$.

[Splair]

Sapresti indicarmi dove trovare regole generali del tipo (prese dalle esercitazioni):

visto che la somma di tutte le righe è uguale a 6, la matrice avrà un autovalore uguale 6.
oppure se una matrice è triangolare inferiore (o superiore) la somma degli autovalori è uguale alla traccia di A.
ecc..

grazie mille ancora...
ciao

[_Tipper]

Non so cosa voglia dire che la somma delle righe è 6, comunque, la traccia di una matrice è sempre uguale alla somma degli autovalori, sia che la matrice sia triangolare inferiore o meno.

Questo lo puoi trovare (ovviamente) o sui libri di algebra lineare, ma anche su delle dispense.

[Splair]

Non so cosa voglia dire che la somma delle righe è 6, comunque, la traccia di una matrice è sempre uguale alla somma degli autovalori, sia che la matrice sia triangolare inferiore o meno.

Intendevo scrivere che la somma di tutti i valori su ogni singola riga è 6. (il totale della somma degli elementi della prima riga =6, della seconda riga =6 e così via...)

cmq ora ho un altro problema...
mi ritrovo con una matrice 6x6 e sinceramente per trovare il rango la trasformazione a scala non mi sembra il massimo!! quali altri metodi ci sono???
grazie mille..
ciao

[_Tipper]

$6 \times 6$... qualunque metodo usi vengono parecchi calcoli, visto l'ordine della matrice... Puoi provare a calcolare il determinante, se dovesse venire diverso da zero, avresti la sicurezza che il rango è $6$. Un altro metodo per calcolare il rango è determinare il massimo ordine fra le sottomatrici invertibili, ma anche in questo caso, essendo una $6 \times 6$, o lo trovi subito, o son conti...