Rango di una matrice.
ho ancora difficoltà con il determinare il rango di una matrice.
$|(1 , 6 , 2 , 2), (1 , 1 , 5 , 2), (2 , 2 , 4 , 3)|$
è una matrice 4 righe*3 colonne.
il rango dovrebbe essere $<=r$ quindi al massimo, 4.
come determimo se è anche <=3,2...
$|(1 , 6 , 2 , 2), (1 , 1 , 5 , 2), (2 , 2 , 4 , 3)|$
è una matrice 4 righe*3 colonne.
il rango dovrebbe essere $<=r$ quindi al massimo, 4.
come determimo se è anche <=3,2...
Risposte
Vedi che il rango di una matrice è minore o uguale del minimo tra il numero di righe e il numero delle colonne.
Nel tuo caso il rango sarà al più $3$
Nel tuo caso il rango sarà al più $3$
No,al più può essere $3$,pensa alla definizione di rango.
Poi dovresti precedere con il teorema degli orlati,ovvero http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Kronecker.
Poi dovresti precedere con il teorema degli orlati,ovvero http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Kronecker.
avete qualche documento riguardo il rango da linkare?
Per documento intendi qualche esempio? Magari anche in pdf?
si, qualche esempio/esercizio svolto
continuo a non capire come si applica la regola degli orlati.
faccio un esempio.
$A=|(1, 1, 1), (2,3,4), (1,5,2)|$
abbiamo detto che il rango è al più il minore fra righe e colonne. in questo caso 3.
rank(A)$<=$3
visto che il determinante della matrice è diverso da zero, il rango è massimo, quindi 3.
ora prendiamo un altra matrice:
$A=|(1,1,1),(2,3,4),(8,5,2)|$
anche questa matrice ha come minore fra righe e colonne 3, ma il rango è $<=$2 perché il determinante è nullo.
procedo con la regola degli orlati e considero le sottomatrici quadrate? tutte le sottomatrici quadrate 2x2?
si tratta di 6 matrici. almeno una ha determinante non nullo quindi il rango è 2.
il mio procedimento è corretto?
se mi ritrovo con una matrice 5x5 e devo verificare se l rango è uguale o minore di 2 (ad esempio) devo considerare tutte le possibili matrici quadrate 2x2? sono davvero tante.
faccio un esempio.
$A=|(1, 1, 1), (2,3,4), (1,5,2)|$
abbiamo detto che il rango è al più il minore fra righe e colonne. in questo caso 3.
rank(A)$<=$3
visto che il determinante della matrice è diverso da zero, il rango è massimo, quindi 3.
ora prendiamo un altra matrice:
$A=|(1,1,1),(2,3,4),(8,5,2)|$
anche questa matrice ha come minore fra righe e colonne 3, ma il rango è $<=$2 perché il determinante è nullo.
procedo con la regola degli orlati e considero le sottomatrici quadrate? tutte le sottomatrici quadrate 2x2?
si tratta di 6 matrici. almeno una ha determinante non nullo quindi il rango è 2.
il mio procedimento è corretto?
se mi ritrovo con una matrice 5x5 e devo verificare se l rango è uguale o minore di 2 (ad esempio) devo considerare tutte le possibili matrici quadrate 2x2? sono davvero tante.
Sostanzialmente il procedimento è quello,però vedrai che piano piano ci fai l'occhio!
A volte ti accorgi che due colonne/righe sono dipendenti e quindi non vai a considerare un minore contenente due colonne/righe dipendenti!
A volte ti accorgi che due colonne/righe sono dipendenti e quindi non vai a considerare un minore contenente due colonne/righe dipendenti!
$A=|(1,1,1),(2,3,4),(8,5,2)|$
anche questa matrice ha come minore fra righe e colonne 3, ma il rango è $<=$2 perché il determinante è nullo.
procedo con la regola degli orlati e considero le sottomatrici quadrate? tutte le sottomatrici quadrate 2x2?
si tratta di 6 matrici. almeno una ha determinante non nullo quindi il rango è 2.
il mio procedimento è corretto?
Attenzione, non devi estrarre utte la matrici di ordine $2$ e calcolare di esse il determinante. Non è così!
quali devo estrarre?
Ti faccio un esempio, sia assegnata la seguente matrice:$A=((1,2,-1,0,2),(4,2,-1,0,1),(1,2,1,-1,-1),(0,1,0,1,0))$ e di essa vuoi determinare il rango. Hai due strumenti a disposizione la regola di Gauss-Jordan o il teorema degli orlati.
Analizziamo il secondo metodo, esso in sostanza afferma che il rango di una matrice è l'ordine massimo di uno dei minori estraibile dalla matrice con determinante non nullo.
Ora come si affronta la questione, la matrice può avere rango massimo $4$ e questo mi sembra che ti sia chiaro.
Ammettiamo che per una dote particolare tu riesci dando uno sguardo alla matrice di capire che esiste un minore di ordine $4$ con determinante $!=0$, allora hai terminato e dici che il rango della matrice è $4$.
Ma sei proprio sicuro di indovinare il minore giusto di ordine $4$ e con detreminante $!=0$, dico questo perchè in alcuni casi può accadere che tutti i minori di ordine $4$ possono avere determinante nullo e quindi quella matrice non può avere rango $4$. Vedi che da quella matrice puoi estrarre $5$ minori di ordine $4$, sarà una lavoro immane. Puoi veramente rischiare di partire dall'alto e trovarti un pugno di mosche tra le mani?
In genere si parte dal basso, con minori di ordine piccolo e quindi $2$ con determinante non nullo, perchè gia riconoscere che un minore di ordine $3$ abbia determinante non nullo è da mago.
Si orla il minore di ordine $2$ con determinante non nullo, appena orlando trovi un minore di ordine $3$ con determinante non nullo, abbandoni tutto e inizi da quel minore a orlare. Certo questo gioco non dura all'infinito, si presenterà sempre la condizione:
a) Orli un minore con determinante non nullo e tutti gli orlati hanno determinante nullo, hai finito perchè il rango è l'ordine del minore fissato.
Analizziamo il secondo metodo, esso in sostanza afferma che il rango di una matrice è l'ordine massimo di uno dei minori estraibile dalla matrice con determinante non nullo.
Ora come si affronta la questione, la matrice può avere rango massimo $4$ e questo mi sembra che ti sia chiaro.
Ammettiamo che per una dote particolare tu riesci dando uno sguardo alla matrice di capire che esiste un minore di ordine $4$ con determinante $!=0$, allora hai terminato e dici che il rango della matrice è $4$.
Ma sei proprio sicuro di indovinare il minore giusto di ordine $4$ e con detreminante $!=0$, dico questo perchè in alcuni casi può accadere che tutti i minori di ordine $4$ possono avere determinante nullo e quindi quella matrice non può avere rango $4$. Vedi che da quella matrice puoi estrarre $5$ minori di ordine $4$, sarà una lavoro immane. Puoi veramente rischiare di partire dall'alto e trovarti un pugno di mosche tra le mani?
In genere si parte dal basso, con minori di ordine piccolo e quindi $2$ con determinante non nullo, perchè gia riconoscere che un minore di ordine $3$ abbia determinante non nullo è da mago.
Si orla il minore di ordine $2$ con determinante non nullo, appena orlando trovi un minore di ordine $3$ con determinante non nullo, abbandoni tutto e inizi da quel minore a orlare. Certo questo gioco non dura all'infinito, si presenterà sempre la condizione:
a) Orli un minore con determinante non nullo e tutti gli orlati hanno determinante nullo, hai finito perchè il rango è l'ordine del minore fissato.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo