Rango di una matrice 4x4 con parametro variabile: dubbio!
Salve a tutti!
Ho un dubbio e non so come venirne a capo.
Devo determinare il rango di questa matrice
\[
\begin{pmatrix}
0 & -2 & 0 & 2\\
2 & -4 & 0 & 2\\
k & 2 & 0 & -2\\
2 & -2 &0 & 0
\end{pmatrix}
\]
con $k \in \Re $.
E' chiaro che il rango è minore di 4, visto che il determinante è nullo. Dunque passo a considerare i minori di ordine 3x3. Mi accorgo che anche per questi il determinante è nullo e, quindi, il rango è minore di 3.
Passo ai minori di ordine 2x2 e qua arriva il dubbio!
Mi basta trovare un solo minore 2x2 con determinante diverso da zero per dire che la matrice ha rango 2 oppure devo controllare che tutti i minori abbiano determinante non nullo?
Se fosse la prima opzione, allora basta guardare il minore
\[
\begin{pmatrix}
0 & -2\\
2 & -4
\end{pmatrix}
\]
,il cui determinate è diverso da zero, e dire che il rango è due. Ma in questo modo sto automaticamente dicendo che per qualunque valore di k il rango è sempre due e ciò mi crea confusione, dal momento che in questo modo l'esercizio che sto facendo mi sembra inutile
(l'esercizio vuole i valori di k che fanno cambiare il rango)
Sono confusa. Spero di essere riuscita a spiegare il mio dubbio.
Grazie
Ho un dubbio e non so come venirne a capo.
Devo determinare il rango di questa matrice
\[
\begin{pmatrix}
0 & -2 & 0 & 2\\
2 & -4 & 0 & 2\\
k & 2 & 0 & -2\\
2 & -2 &0 & 0
\end{pmatrix}
\]
con $k \in \Re $.
E' chiaro che il rango è minore di 4, visto che il determinante è nullo. Dunque passo a considerare i minori di ordine 3x3. Mi accorgo che anche per questi il determinante è nullo e, quindi, il rango è minore di 3.
Passo ai minori di ordine 2x2 e qua arriva il dubbio!
Mi basta trovare un solo minore 2x2 con determinante diverso da zero per dire che la matrice ha rango 2 oppure devo controllare che tutti i minori abbiano determinante non nullo?
Se fosse la prima opzione, allora basta guardare il minore
\[
\begin{pmatrix}
0 & -2\\
2 & -4
\end{pmatrix}
\]
,il cui determinate è diverso da zero, e dire che il rango è due. Ma in questo modo sto automaticamente dicendo che per qualunque valore di k il rango è sempre due e ciò mi crea confusione, dal momento che in questo modo l'esercizio che sto facendo mi sembra inutile
(l'esercizio vuole i valori di k che fanno cambiare il rango)Sono confusa. Spero di essere riuscita a spiegare il mio dubbio.
Grazie
Risposte
In generale vale la seguente caratterizzazione.
Una matrice $n \times n$ ha rango $r$ se tutte le sottomatrici $r + 1 \times r+1$ hanno determinante nullo ed esiste almeno una sottomatrice $r \times r$ che ha determinante non nullo.
Quindi per dire che una matrice ha rango almeno 2 ti basta trovare un minore $2 \times 2$ che non sia nullo.
In questo caso il minore che consideri va bene per dire che ha rango almeno 2, ma potrebbe anche essere di più.
Hai inoltre ragione a dire che la matrice è singolare per qualsiasi valore di $k$ in quanto ha una colonna nulla.
Resta però da capire per quali $k$ ha rango $3$ e per quali solo $2$. Se infatti consideri il minore che esce considerando la prima la terza e la quarta riga e la prima la seconda e la quarta colonna, puoi osservare che questo è una funzione di $k$ e dunque sarà nullo solo per certi valori di $k$. Quindi per tanti valori di $k$ il rango sarà $3$ e per alcuni valori sarà $2$.
Una matrice $n \times n$ ha rango $r$ se tutte le sottomatrici $r + 1 \times r+1$ hanno determinante nullo ed esiste almeno una sottomatrice $r \times r$ che ha determinante non nullo.
Quindi per dire che una matrice ha rango almeno 2 ti basta trovare un minore $2 \times 2$ che non sia nullo.
In questo caso il minore che consideri va bene per dire che ha rango almeno 2, ma potrebbe anche essere di più.
Hai inoltre ragione a dire che la matrice è singolare per qualsiasi valore di $k$ in quanto ha una colonna nulla.
Resta però da capire per quali $k$ ha rango $3$ e per quali solo $2$. Se infatti consideri il minore che esce considerando la prima la terza e la quarta riga e la prima la seconda e la quarta colonna, puoi osservare che questo è una funzione di $k$ e dunque sarà nullo solo per certi valori di $k$. Quindi per tanti valori di $k$ il rango sarà $3$ e per alcuni valori sarà $2$.
Grazie mille!!! )
)
Penso che per questo tipo di esercizio sia spesso utile usare il ragionamento per ridurre i calcoli. Nel caso specifico la terza colonna è nulla e la seconda riga è somma della prima e della quarta. Quindi con una trasformazione possiamo trasformare la matrice nella seguente :
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 & 0\\ 2 & -2 & 0 & 0\\ k & 2 & -2& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Questa matrice ha le prime due righe linearmente indipendenti e quindi ha rango almeno due. Si tratta quindi di risolvere il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} &+2y &-k &= 0 \\ +2x & & &= -2 \\ -2x &-2y & &=2 \end{cases}\)
Per ogni valore di k per cui esistono x e y questo sistema ha rango 2, altrimenti ha rango 3.
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 & 0\\ 2 & -2 & 0 & 0\\ k & 2 & -2& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Questa matrice ha le prime due righe linearmente indipendenti e quindi ha rango almeno due. Si tratta quindi di risolvere il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} &+2y &-k &= 0 \\ +2x & & &= -2 \\ -2x &-2y & &=2 \end{cases}\)
Per ogni valore di k per cui esistono x e y questo sistema ha rango 2, altrimenti ha rango 3.
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