Rango di una matrice
Buonasera a tutti.
Vi posto la seguente traccia:
Si determini per quali valori del parametro reale h il rango della seguente matrice è 3.
\( \begin{pmatrix} 1 & -h & (h-1) \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ h & -h & (-h^2+1) \end{pmatrix} \)
Essendo una matrice rettangolare non posso operare sul determinante, perciò utilizzo il teorema degli orlati.
Il teorema afferma: : "Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice A di tipo mxn abbia rango p è che esista un minore Mp (avente ordine p) della matrice A non nullo, avente tutti gli orlati pari a 0 ".
A questo punto, arbitrariamente, mi studio un minore di ordine 3:
$ M_3$=\begin{vmatrix} 1 & -h & (h-1) \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}=$h-1 $
Annullo il risultato per ottenere il valore di h per il quale tale minore risulta essere nullo, ottenendo h=1.
Ma.. Avrei potuto scegliere anche un'altro minore:
\( \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ h & -h & (-h^2+1) \end{vmatrix} \) ottenendo che mi si annullava per \( h=\pm 1 \)
Allora quindi faccio riflessione sul teorema, il quale sottolinea che è sufficiente avere almeno un minore non nullo di ordine 3 (ed i relativi orlati nulli) affinchè il rango della matrice possa essere uguale all'ordine del minore.. In questo caso, studiando questi 2 minori, ENTRAMBI hanno orlati nulli. se mi fermassi al primo studio avrei perso h=-1 che comunque avrebbe fatto si che il rango fosse 3. Quindi vorrei chiedervi, in queste situazioni parametriche, vanno studiati tutti i possibili minori e poi unire tutte le soluzioni?
Spero di essere stato abbastanza chiaro.
Vi posto la seguente traccia:
Si determini per quali valori del parametro reale h il rango della seguente matrice è 3.
\( \begin{pmatrix} 1 & -h & (h-1) \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ h & -h & (-h^2+1) \end{pmatrix} \)
Essendo una matrice rettangolare non posso operare sul determinante, perciò utilizzo il teorema degli orlati.
Il teorema afferma: : "Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice A di tipo mxn abbia rango p è che esista un minore Mp (avente ordine p) della matrice A non nullo, avente tutti gli orlati pari a 0 ".
A questo punto, arbitrariamente, mi studio un minore di ordine 3:
$ M_3$=\begin{vmatrix} 1 & -h & (h-1) \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}=$h-1 $
Annullo il risultato per ottenere il valore di h per il quale tale minore risulta essere nullo, ottenendo h=1.
Ma.. Avrei potuto scegliere anche un'altro minore:
\( \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ h & -h & (-h^2+1) \end{vmatrix} \) ottenendo che mi si annullava per \( h=\pm 1 \)
Allora quindi faccio riflessione sul teorema, il quale sottolinea che è sufficiente avere almeno un minore non nullo di ordine 3 (ed i relativi orlati nulli) affinchè il rango della matrice possa essere uguale all'ordine del minore.. In questo caso, studiando questi 2 minori, ENTRAMBI hanno orlati nulli. se mi fermassi al primo studio avrei perso h=-1 che comunque avrebbe fatto si che il rango fosse 3. Quindi vorrei chiedervi, in queste situazioni parametriche, vanno studiati tutti i possibili minori e poi unire tutte le soluzioni?
Spero di essere stato abbastanza chiaro.
Risposte
Ciao, io avrei operato così. Il minore $det((1,0),(-1,1))=1!=0$ quindi la matrice ha rango 2 o 3.
Il minore che ho scelto può essere orlato in 2 soli modi e uso i tuoi conti.
Se $h=1$ entrambi gli orlati sono nulli e il rango è 2. Se $h=-1$ invece il tuo primo minore è non nullo e il rango è 3. Io concluderei che il rango è 3 per $h!=1$.
Premesso che non sono sicuro che sia giusto al 100%, in generale ho un dubbio quando non è possibile trovare un minore non nullo o che non dipenda da un parametro!
In quel caso l'unica cosa che mi viene in mente è calcolare tutti i minori, ma non è conveniente...
Il minore che ho scelto può essere orlato in 2 soli modi e uso i tuoi conti.
Se $h=1$ entrambi gli orlati sono nulli e il rango è 2. Se $h=-1$ invece il tuo primo minore è non nullo e il rango è 3. Io concluderei che il rango è 3 per $h!=1$.
Premesso che non sono sicuro che sia giusto al 100%, in generale ho un dubbio quando non è possibile trovare un minore non nullo o che non dipenda da un parametro!
In quel caso l'unica cosa che mi viene in mente è calcolare tutti i minori, ma non è conveniente...
In alternativa si può ridurre con Gauss oppure con un po' di esperienza si vede che la seconda e la terza riga non sono multiple una dell'altra quindi il rango come minimo è $2$ mentre la quarta è multipla della terza se $h^2=1$ e la prima è multipla della terza se $h=1$ da cui si conclude che il rango è diverso da tre solo per $h=1$
Grazie mille per il vostro aiuto, in effetti assunto h=1 e sostituito all'interno della matrice, se applico la riduzione con Gauss mi accorgo immediatamente di avere due righe intere nulle, a dimostrazione della lineare dipendenza.
"Cantor99":
in generale ho un dubbio quando non è possibile trovare un minore non nullo o che non dipenda da un parametro!
In quel caso l'unica cosa che mi viene in mente è calcolare tutti i minori, ma non è conveniente...
Se la matrice è quadrata il determinante non singolare determina che il rango di tale matrice sarà massimo. Oppure come suggerito in precedenza, (a maggior ragione quando non si hanno parametri) le mosse di Gauss diventano molto utili, in quanto ti permette di determinare subito il rango della matrice. In effetti, è bastato operare con Gauss per accorgermi immediatamente che con h=1, due righe fossero nulle. Da li si poteva subito dire che per h=1 rank(A) = 2
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