Rango di una forma bilineare.
Studiando le forme bilineari mi sono imbattuto nella proposizione: " sia $\phi:V^2->K$ un prodotto scalare e sia $ dimV=n$ allora rk$\phi$ è n se e solo se $\phi$ è non degere".
Il mio prblema è nelle ipotesi, se il rango è la dimensione dell'immagine di phi allora essa può essere solo uguale ad uno dato che $\phi:V^2->K$...
Ho anche un'altro problema...quando si definisce l'ortogonalità di due vettori io me li immagino come due rette perpendicolari ad esempio ma un vettore può essere anche ortogonale a sé stesso...come ve li immaginate voi?
Il mio prblema è nelle ipotesi, se il rango è la dimensione dell'immagine di phi allora essa può essere solo uguale ad uno dato che $\phi:V^2->K$...
Ho anche un'altro problema...quando si definisce l'ortogonalità di due vettori io me li immagino come due rette perpendicolari ad esempio ma un vettore può essere anche ortogonale a sé stesso...come ve li immaginate voi?
Risposte
"Ariz93":
Studiando le forme bilineari mi sono imbattuto nella proposizione: " sia $\phi:V^2->K$ un prodotto scalare e sia $ dimV=n$ allora rk$\phi$ è n se e solo se $\phi$ è non degere".
Il mio prblema è nelle ipotesi, se il rango è la dimensione dell'immagine di phi allora essa può essere solo uguale ad uno dato che $\phi:V^2->K$... [...]
No, il rango di una forma bil corrisponde al rango della sua matrice di Gram.
[...] Ho anche un'altro problema...quando si definisce l'ortogonalità di due vettori io me li immagino come due rette perpendicolari ad esempio ma un vettore può essere anche ortogonale a sé stesso...come ve li immaginate voi?
Eh, qui bisogna un po' farci l'abitudine e fidarsi dell'algebra (e dei conti) più che dell'immaginazione, almeno per ora.
Soltanto con un po' di Geometria Differenziale alle spalle si comprende meglio il significato di un prodotto scalare "non standard" (tramite la prima forma fondamentale, per esempio, si riesce a dare una nozione di ortogonalità per vettori tangenti ad una certa superficie, che non corrisponde ad quella classica del piano).
"Delirium":
No, il rango di una forma bil corrisponde al rango della sua matrice di Gram.
Ecco a volte cerco di fare delle analogie anche quando non vi sono...
"Delirium":
Eh, qui bisogna un po' farci l'abitudine e fidarsi dell'algebra (e dei conti) più che dell'immaginazione, almeno per ora.
Soltanto con un po' di Geometria Differenziale alle spalle si comprende meglio il significato di un prodotto scalare "non standard" (tramite la prima forma fondamentale, per esempio, si riesce a dare una nozione di ortogonalità per vettori tangenti ad una certa superficie, che non corrisponde ad quella classica del piano).
Capisco quindi devo fidarmi dell'analitica..anche se trovare controesempi in questo senso sarà un'ardua impresa suppongo..Geometria differenziale sai se fa parte anche del corso di laurea in fisica (ad esempio magari se ne tratta una parte in geometria 2).
In realtà il mio "spoiler" sulla prima forma fondamentale è stato un po' infelice, nel senso che ho espresso molto male l'idea che volevo far passare (e, a rileggere, sembra pure che quanto dico sia errato).
Per farmi perdonare butto un po' di carne al fuoco e formalizzo un poco ( - comunque sì, credo proprio che a Fisica si faccia della Geo Diff., ma soprattutto lo spero)
Sappiamo che \(\mathbb{R}^3\) ci "giunge fornito" del prodotto scalare standard. Ora, se si considera una superficie \(S \subset \mathbb{R}^3\) ed un punto \(p \in S\) a cui è associata la sua "mappa locale" \(\mathbf{x} : U \to V \cap S\) come da definizione (cfr. pag. 62, definition 1 di Differential Geometry of Curves and Surfaces, Manfredo P. Do Carmo), è legittimo considerare il piano tangente alla superficie in \(p\); si può dimostrare, ma non lo faccio, che tale piano \(T_p S\) è generato dai vettori linearmente indipendenti \(\partial_1= \partial \mathbf{x}(q) / \partial u , \partial_2= \partial \mathbf{x}(q) / \partial v\), ove \(q\) è tale che \(\mathbf{x}(q)=p\). Detto ciò, è ragionevole domandarsi se è possibile per esempio determinare l'angolo compreso tra due vettori tangenti ad una superficie senza dover "osservare il tutto dall'esterno", cioè dall'ambiente \(\mathbb{R}^3\); l'idea è pertanto quella di indurre sulla superficie il prodotto scalare usuale formando la matrice di Gram con i vettori \(\partial_1\) e \(\partial_2\). A titolo d'esempio, possiamo considerare i vettori a coefficienti reali \[\begin{matrix} v=v_1 \partial_1 + v_2 \partial_2 \\ w=w_1 \partial_1 + w_2 \partial_2 \end{matrix} \] ed osservare che (salto i passaggi) \[v \cdot w =(v_1 w_1) \partial_1 \cdot \partial_1 + (v_1 w_2 +v_2 w_1) \partial_1 \cdot \partial_2 + (v_2 w_2) \partial_2 \cdot \partial_2 \] donde ne esce appunto, se si considera \(v \cdot v\), la matrice di Gram \[I=\begin{pmatrix}\partial_1 \cdot \partial_1 & \partial_1 \cdot \partial_2 \\ \partial_1 \cdot \partial_2 & \partial_2 \cdot \partial_2 \end{pmatrix} \]
Con questo arnese ci puoi fare delle cose carine, tipo misurare l'ampiezza di angoli tra vettori tangenti, la lunghezza di curve parametrizzate che corrono lungo la superficie e pure le aree di porzioni di superficie.
Per farmi perdonare butto un po' di carne al fuoco e formalizzo un poco ( - comunque sì, credo proprio che a Fisica si faccia della Geo Diff., ma soprattutto lo spero)
Sappiamo che \(\mathbb{R}^3\) ci "giunge fornito" del prodotto scalare standard. Ora, se si considera una superficie \(S \subset \mathbb{R}^3\) ed un punto \(p \in S\) a cui è associata la sua "mappa locale" \(\mathbf{x} : U \to V \cap S\) come da definizione (cfr. pag. 62, definition 1 di Differential Geometry of Curves and Surfaces, Manfredo P. Do Carmo), è legittimo considerare il piano tangente alla superficie in \(p\); si può dimostrare, ma non lo faccio, che tale piano \(T_p S\) è generato dai vettori linearmente indipendenti \(\partial_1= \partial \mathbf{x}(q) / \partial u , \partial_2= \partial \mathbf{x}(q) / \partial v\), ove \(q\) è tale che \(\mathbf{x}(q)=p\). Detto ciò, è ragionevole domandarsi se è possibile per esempio determinare l'angolo compreso tra due vettori tangenti ad una superficie senza dover "osservare il tutto dall'esterno", cioè dall'ambiente \(\mathbb{R}^3\); l'idea è pertanto quella di indurre sulla superficie il prodotto scalare usuale formando la matrice di Gram con i vettori \(\partial_1\) e \(\partial_2\). A titolo d'esempio, possiamo considerare i vettori a coefficienti reali \[\begin{matrix} v=v_1 \partial_1 + v_2 \partial_2 \\ w=w_1 \partial_1 + w_2 \partial_2 \end{matrix} \] ed osservare che (salto i passaggi) \[v \cdot w =(v_1 w_1) \partial_1 \cdot \partial_1 + (v_1 w_2 +v_2 w_1) \partial_1 \cdot \partial_2 + (v_2 w_2) \partial_2 \cdot \partial_2 \] donde ne esce appunto, se si considera \(v \cdot v\), la matrice di Gram \[I=\begin{pmatrix}\partial_1 \cdot \partial_1 & \partial_1 \cdot \partial_2 \\ \partial_1 \cdot \partial_2 & \partial_2 \cdot \partial_2 \end{pmatrix} \]
Con questo arnese ci puoi fare delle cose carine, tipo misurare l'ampiezza di angoli tra vettori tangenti, la lunghezza di curve parametrizzate che corrono lungo la superficie e pure le aree di porzioni di superficie.
Molto interessante! Però purtroppo alcune cose ancora non le afferro completamente. Grazie comunque 
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Se posso permettermi, visto che le visioni sono il mio campo (sì, sono matto...), ci sono vari modi di vedere la forma. Un modo che trovo possa essere carino è quello della difficoltà di girare in una certa direzione, data $b$ e un vettore $v$, la difficoltà di girare (o proseguire) è data da $1/(b_v(x))$, dove x sta ovviamente per la direzione che vuoi valutare. Bene l'ortogonale risulta essere la direzione in cui è più difficile spostarsi e quindi capisci che nessuno ti vieta che spostarti lungo un vettore su cui ti stai muovendo possa essere più difficile che lungo altri vettori (quindi che il vettore sia ortogonale a se stesso). Se usi la forma canonica del prodotto scalare più veloce vai lungo una direzione più velocemente continui ad andarci e per girare di 90° fai una fatica immane, un po' come fa un treno..
"Ariz93":
Molto interessante! Però purtroppo alcune cose ancora non le afferro completamente. Grazie comunque
Infatti sono andato ben oltre la tua richiesta. Però quel nastro di Möbius lì nel tuo avatar con la sua non-orientabilità mi ha "attivato", come mi dicono spesso
Ahahhaa purtroppo però ancora ne so poco della non orientabilità per ora mi affascina come figura e soprattutto perché non è una cosa che si vede tutti i giorni . Grazie comunque, vedo se riesco comunque a trarre giovamento dalla tua "attivazione".
. Grazie comunque, vedo se riesco comunque a trarre giovamento dalla tua "attivazione".
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