Rango di matrice - esercizio elementare
Det. il rango della seguente al variare del parametro k
$|(1,k+1,0,k-1),(0,k+1,0,k-1),(0,k+1,1,0)|$
Applicando l'algoritmo di gauss diventa:
$|(1,k+1,0,k-1),(0,k+1,0,k-1),(0,0,1,1-k)|$
E' lecito dire che il rango non può che essere 3 in quanto:
la terza riga non si annullerà mai essendoci 1 in 3,3
la seconda non si annullerà mai in quanto o $k=1$ o $k=-1$
la prima neanche in quanto c'è 1 in 1,1
Quindi poiché con gauss il numero del rango coincide col numero delle righe non nulle abbiamo che il rango è sempre e solo 3. Lo so che mi esprimo come un barbaro, ma non pensate male, faccio solo la quarta
$|(1,k+1,0,k-1),(0,k+1,0,k-1),(0,k+1,1,0)|$
Applicando l'algoritmo di gauss diventa:
$|(1,k+1,0,k-1),(0,k+1,0,k-1),(0,0,1,1-k)|$
E' lecito dire che il rango non può che essere 3 in quanto:
la terza riga non si annullerà mai essendoci 1 in 3,3
la seconda non si annullerà mai in quanto o $k=1$ o $k=-1$
la prima neanche in quanto c'è 1 in 1,1
Quindi poiché con gauss il numero del rango coincide col numero delle righe non nulle abbiamo che il rango è sempre e solo 3. Lo so che mi esprimo come un barbaro, ma non pensate male, faccio solo la quarta
Risposte
Qui è semplice, in quanto puoi anche fare a meno di applicare l'algoritmo di Gauss-Jordan, in quanto prendendo la matriche formata dalla prime tre righe e dalle prime tre colonne come minore fondamentale, noti che il determinante è: $k+1!=0$ quindi se $k!=-1 => rgA=3, k=-1 => rgA=2$
"Lorin":
Qui è semplice, in quanto puoi anche fare a meno di applicare l'algoritmo di Gauss-Jordan, in quanto prendendo la matriche formata dalla prime tre righe e dalle prime tre colonne come minore fondamentale, noti che il determinante è: $k+1!=0$ quindi se $k!=-1 => rgA=3, k=-1 => rgA=2$
'petta. se $k=-1$ diventa:
$|(1,0,0,-2),(0,0,0,-2),(0,0,1,+2)|$ E $|(1,0,-2),(0,0,-2),(0,1,+2)|$ non è forse un minore il cui det è $1*(-1)^(1+1)*|(0,-2),(1,+2)|=2!=0$ quindi il rango è 3 no?
Per scoprire se il rango può essere minore di 3 basta vedere se i determinanti dei minori (di ordine 3, sottointendo) possono essere tutti contemporaneamente nulli, ovvero (se non ho sbagliato i conti):
$\{( k+1=0 ),((k+1)(k-1)=0),(k-1=0),((k+1)(k-1)-(k+1)(k-1)=0):}$
Ma questo sistema non ha soluzione perchè $k+1 != k-1 \forall k \in \mathbb R$ quindi i minori non possono avere contemporaneamente tutti i determinanti nulli ovvero vi è sempre un minore di ordine tre con determinante non nullo. Ovvero il rango è 3.
$\{( k+1=0 ),((k+1)(k-1)=0),(k-1=0),((k+1)(k-1)-(k+1)(k-1)=0):}$
Ma questo sistema non ha soluzione perchè $k+1 != k-1 \forall k \in \mathbb R$ quindi i minori non possono avere contemporaneamente tutti i determinanti nulli ovvero vi è sempre un minore di ordine tre con determinante non nullo. Ovvero il rango è 3.
"Injo":
Per scoprire se il rango può essere minore di 3 basta vedere se i determinanti dei minori (di ordine 3, sottointendo) possono essere tutti contemporaneamente nulli, ovvero (se non ho sbagliato i conti):
$\{( k+1=0 ),((k+1)(k-1)=0),(k-1=0),((k+1)(k-1)-(k+1)(k-1)=0):}$
Ma questo sistema non ha soluzione perchè $k+1 != k-1 \forall k \in \mathbb R$ quindi i minori non possono avere contemporaneamente tutti i determinanti nulli ovvero vi è sempre un minore di ordine tre con determinante non nullo. Ovvero il rango è 3.
Allora siamo arrivati alla stessa conclusione, il rango è 3 per ogni $kinRR$. Mi interessava sapere però se il mio metodo è accettabile.
Credo proprio che siano buone le tue osservazioni in quanto, una volta fissato $k$, analizzando le righe non ne esisteranno mai di nulle $\forall k \in \mathbb R$.
Si scusami l'errore di distrazione...comunque concordo con voi, entrambi i metodi sono buoni.
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