Rango di Matrice e Matrice Coniugata.

[deleus]

Ciao Ragazzi!
Stavo cercando di dare una dimostrazione alla seguente affermazione:
$rgA=rg\bar{A}$
Credo sia conveniente partire dal Teorema della Dimensione e dimostrare allora che $dimKerA=dimKer\bar{A}$
Come continureste?
Grazie in anticipo
Daniele

Io ho provato così:
Se $ v\in KerA$ allora $ \bar{v} \in Ker\bar{A}$ cioè $KerA$ e $Ker\bar{A}$ hanno lo stesso numero di elementi.
Sia $ B={v_1...v_n}$ una base di $KerA$.Voglio dimostrare che $ C={\bar{v_1}...\bar{v_n}}$ è una base di $Ker\bar{A}$
$v=alpha_1v_1+...+alpha_nv_n$ allora coniugando $v$ e ricordando le proprietà dei numeri complessi $\bar{v}=\bar{alpha_1}*\bar{v_1}+...+\bar{alpha_n}*\bar{v_n}$ cioè $C$ è un sistema di generatori per $Ker\bar{A}$.
Dimostrare che sono anche linearmente indipendenti è banale.

[Pappappero1]

Funziona.

Ancora piu' facile. Il rango di $A$ e' la dimensione dello span delle sue colonne. Se hai una combinazione lineare non nulla, anche la sua coniugata e' non nulla, quindi la dimensione dello span delle colonne di $A$ e' la stessa dello span delle colonne di $\bar{A}$.

Oppure. I conigati dei minori di $A$ sono i minori di $\bar{A}$. Quindi un minore di $A$ e' singolare se e solo se il minore corrispondente di $\bar{A}$ e' singolare.

[deleus]

Grazie mille! Gentilissimo Davvero!