Rango della matrice

[indovina]

Sto studiando le matrici e negli appunti mi sono ritrovata con questa definizione sul rango:
Il rango della matrice è il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti.
Non riesco a capire perchè LINEARMENTE INDIPENDENTI.
Qualcuno riuscirebbe a spiegarmelo anche con un esempio?
Grazie

[Gatto891]

In che senso non riesci a capirlo? E' una definizione...

Se intendi cosa vuol dire che delle colonne siano linearmente indipendenti, se $A \in M_{m,n}(K)$ le colonne sono trattate come vettori di $RR^m$

Esempio: $A = ((1, 1),(1, 0))$; poichè $(1, 1), (1,0) \in RR^2$ sono linearmente indipendenti, il rango della matrice è 2.

[indovina]

Ah ecco.
Anche le righe possono essere trattate come vettori di $R^n$ giusto?
Avevo un esercizio di questo tipo_
Trovare la dipendenza lineare.

3 -1 0 vettore $a_1$

-1 0 -2 vettore $a_2$

9 -2 6 vettore $a_3$

Il determinante è 0

Poi devo dimostrare che questi vettori sono linearmente dipendenti
Ma cosa dovrei fare per dimostrarlo?

[Gatto891]

"clever":
Anche le righe possono essere trattate come vettori di $R^n$ giusto?

Esatto, poi un teorema ti dice che il rango per righe di una matrice è uguale al suo rango per colonne, da cui la definizione di rango di una matrice come il suo rango per righe o per colonne.

"clever":
Trovare la dipendenza lineare.

3 -1 0 vettore $a_1$

-1 0 -2 vettore $a_2$

9 -2 6 vettore $a_3$

Il determinante è 0

Poi devo dimostrare che questi vettori sono linearmente dipendenti
Ma cosa dovrei fare per dimostrarlo?

A.S. Per i prossimi post dai un'occhiata alle formule, ci perdi massimo 5 minuti e quello che vuoi dire sarà più chiaro.

Riguardo l'esercizio... dei vettori sono linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione lineare non banale che dia il vettore nullo, quindi tu devi cercare $x_1, x_2, x_3 \in K$ $t.c.$ $a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 = (0, 0, 0)$

[indovina]

Ma una Combinazione lineare è linearmente dipendente quando gli scalari che tu hai preso come $x_1$ $x_2$ $x_3$ non sono tutti nulli.
Sarebbe tipo $(3, -1, 0)*x_1$+$(-1, 0, -2)*x_2$+$(9, -2, 6)*x_3)$ = $(0,0,0)$
E poi alla fine viene come un sistema da risolvere?

Risolvendo viene che $x_1$ , $x_2$ e $x_3$ sono nulli. Giusto?

[Gatto891]

Una combinazione lineare è non banale quando gli scalari non sono tutti nulli, e se è uguale al vettore nullo in tal caso i vettori sono linearmente dipendenti.

Riguardo al resto si, ti viene un sistema da risolvere, però rifatti i calcoli perchè a occhio c'è almeno un'altra soluzione $= 2, -3, 1$ e quindi ce ne sono infinite...

[indovina]

Come ce ne sono infinite oO?

[Gatto891]

Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo formano uno spazio vettoriale, quindi basta ce ne sia almeno una non nulla perchè siano infinite... anche nel caso non avete fatto ancora gli spazi vettoriali, nel tuo esempio puoi notare che, al variare di $\lambda \in RR$*, data la terna $x_1 = 2\lambda, x_2 = -3\lambda, x_3 = \lambda$ hai che $a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3$ è sempre una combinazione lineare non banale che ti da il vettore nullo.
Quindi, poichè esiste una combinazione lineare non banale che ti da il vettore nullo, i vettori sono lineramente dipendenti...

[indovina]

Scusa la domanda, ma cosa intendi per ''una combinazione lineare non banale''