Rango del prodotto

[marcomora]

ciao a tutti, sono nuovo

non riesco a capire la dimostrazione di una proprietà del rango; esattamente quella che dice che il rango del prodotto di due matrici è minore uguale al rango delle due singole matrici.

se qualche anima gentile me la spiegasse ne sarei grato
grazie mille

[Pappappero1]

Prendiamo due matrici $A \in Mat_{n \times m}$ e $B \in Mat _{m \times k}$ in modo che possiamo fare il prodotto $AB$. $B$ definisce una mappa lineare $B : F^k \to F^m$ e $A$ definisce una mappa lineare $A: F^m \to F^n$ ($F$ è il campo su cui stiamo lavorando). Il rango di $B$ è la dimensione dell'immagine della mappa indotta da $B$ e il rango di $A$ è la dimensione dell'immagine della mappa indotta da $A$. Il rango del prodotto $AB$ è la dimensione della mappa composta $AB : F^k \to F^m$.

L'immagine di $AB$ non sarà certamente più grande dell'immagine di $A$ (in quanto per fare l'immagine di $A$ prendiamo vettori in tutto $F^m$, mentre per fare l'immagine di $AB$ prendiamo vettori solo nell'immagine di $B$), quindi il rango di $AB$ è certamente minore o uguale del rango di $A$.

In modo simile, i vettori dell'immagine di $AB$ sono l'immagine attraverso $A$ dei vettori dell'immagine di $B$. L'immagine di $B$ ha dimensione $rk (B)$, quindi ogni sua immagine avrà certamente dimensione al più $rk (B)$.