Rango con parametro
Salve a tutti, ho un problema con questo esercizio:
"Date le matrici $A=((1,1,1),(-1,-1,k),(2,1-k,2))$ e $B=((k),(-k),(-1+k))$, e considerato il sistema lineare $AX=B$, stabilire per quali valori di k il sistema è compatibile"
Allora, io ho ragionato così. Il sistema è compatibile se $rg(A)=rg(A"/"B)$. Essendo $det(A)!=0$ per $k!=-1$, allora rg(A)=3 appunto per $k!=-1$. Per k=-1, il rg(A)=1, dato che per k=-1 non esistono minori del 2° ordine non nulli.
Passando invece alla matrice completa A/B, ho visto che le cose non cambiano, cioè mi viene sempre che rg(A/B)=3 per $k!=-1$, e rg(A/B)=1 per k=-1.
Il problema è che così ci sarebbero infiniti-1 valori di k per cui quel sistema è compatibile, per cui sicuramente sbaglio qualcosa, ma cosa???
Grazie!
"Date le matrici $A=((1,1,1),(-1,-1,k),(2,1-k,2))$ e $B=((k),(-k),(-1+k))$, e considerato il sistema lineare $AX=B$, stabilire per quali valori di k il sistema è compatibile"
Allora, io ho ragionato così. Il sistema è compatibile se $rg(A)=rg(A"/"B)$. Essendo $det(A)!=0$ per $k!=-1$, allora rg(A)=3 appunto per $k!=-1$. Per k=-1, il rg(A)=1, dato che per k=-1 non esistono minori del 2° ordine non nulli.
Passando invece alla matrice completa A/B, ho visto che le cose non cambiano, cioè mi viene sempre che rg(A/B)=3 per $k!=-1$, e rg(A/B)=1 per k=-1.
Il problema è che così ci sarebbero infiniti-1 valori di k per cui quel sistema è compatibile, per cui sicuramente sbaglio qualcosa, ma cosa???
Grazie!
Risposte
Per k diverso da -1 il tuo ragionamento e' esatto:al variare di k,non uguale a -1,vi
sono infiniti sistemi compatibili in quanto matrice incompleta e completa hanno
lo stesso rango 3.Ognuno di questi sistemi ha poi, ovviamente, una solo soluzione.
Anche per k=-1 le due matrici hanno medesimo rango 1 ed il sistema si riduce
all'unica equazione x+y+z=-1 che ha una infinita' doppia di soluzioni come si vede
se ,per esempio,si fanno variare y e z e si ricava il corrispondente valore di x=-1-y-z.
karl
.
sono infiniti sistemi compatibili in quanto matrice incompleta e completa hanno
lo stesso rango 3.Ognuno di questi sistemi ha poi, ovviamente, una solo soluzione.
Anche per k=-1 le due matrici hanno medesimo rango 1 ed il sistema si riduce
all'unica equazione x+y+z=-1 che ha una infinita' doppia di soluzioni come si vede
se ,per esempio,si fanno variare y e z e si ricava il corrispondente valore di x=-1-y-z.
karl
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Il fatto è che mi aveva ingannato il testo, che prosegue dicendo "...e, per ciascuno di tali valori, quante soluzioni ammette". Quindi mi aspettavo di ottenere un numero finito di valori k, ecco perchè appeno ho trovato tutti quei $k!=-1$ pensavo di avere sbagliato. Ti ringrazio.
Solo un'altra cosa. Quando ho aggiunto la matrice B per calcolare il rg(A/B), le considerazioni sul rg in effetti le ho fatte considerando sempre la sottomatrice A, fregandomene di aver aggiunto B. Questo è corretto, giusto? Perchè in questo caso basta trovare UN minore del 3° ordine $!=0$ per dire che rg(A/B)=3, e quindi ho riutilizzato i conti già fatti per il rg(A). Giusto?
Grazie!
Solo un'altra cosa. Quando ho aggiunto la matrice B per calcolare il rg(A/B), le considerazioni sul rg in effetti le ho fatte considerando sempre la sottomatrice A, fregandomene di aver aggiunto B. Questo è corretto, giusto? Perchè in questo caso basta trovare UN minore del 3° ordine $!=0$ per dire che rg(A/B)=3, e quindi ho riutilizzato i conti già fatti per il rg(A). Giusto?
Grazie!
Giusto.
karl
karl
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