Rango
Ciao,
di nuovo qui a parlare di rango,
data $A = ((4, k, 2),(-6, -5, -3),(2, k, 1))$, $rk(A) = 2, AAk in RR$ ?
Riducendo la matrice per righe vedrei subito il rango,
però se $K = 5/3$ la terza e la seconda riga sono linearmente dipendenti
dato poi che la prima e la terza non la saranno mai perchè k resta k, stessa cosa per la prima e la seconda
il rango sarà 2 ma per ogni altro valore il rango è 3
invece provando un po con un programma dando valori casuali il rango è sempre 2,
quindi cosa sbaglio nel mio ragionamento ?
di nuovo qui a parlare di rango,
data $A = ((4, k, 2),(-6, -5, -3),(2, k, 1))$, $rk(A) = 2, AAk in RR$ ?
Riducendo la matrice per righe vedrei subito il rango,
però se $K = 5/3$ la terza e la seconda riga sono linearmente dipendenti
dato poi che la prima e la terza non la saranno mai perchè k resta k, stessa cosa per la prima e la seconda
il rango sarà 2 ma per ogni altro valore il rango è 3
invece provando un po con un programma dando valori casuali il rango è sempre 2,
quindi cosa sbaglio nel mio ragionamento ?
Risposte
Il rango di questa matrice non sarà mai 3, dal momento che il suo determinante è nullo $forall k in RR$.
1a e 3a colonna...
Riducendo la matrice a scala per righe si ottiene questa:
$((4,k,2),(0,k-\frac{10}{3},0),(0,k,0))$
e si vede che il rango è sempre due.
EDIT: non avevo visto le vostre risposte
$((4,k,2),(0,k-\frac{10}{3},0),(0,k,0))$
e si vede che il rango è sempre due.
EDIT: non avevo visto le vostre risposte
Grazie per le risposte,
lasciando stare la riduzione e il determinante, il mio ragionamento era giusto ?
Se era giusto, vorrebbe dire che guardare solo righe (o colonne) porta ad un risultato sbagliato
lasciando stare la riduzione e il determinante, il mio ragionamento era giusto ?
Se era giusto, vorrebbe dire che guardare solo righe (o colonne) porta ad un risultato sbagliato
...sì, non ti puoi limitare alle righe (colonne)...
...sì, non ti puoi limitare alle righe (colonne)...No, puoi anche limitarti alle righe (o colonne), ma devi farlo bene.
Se, in una matrice quadrata, ci sono n colonne linearmente dipendenti, necessariamente ci sono anche n righe linearmente dipendenti.
E viceversa.
Ne sei sicuro ?
Stessa matrice con $k = 3$, $((4, 3, 2),(-6, -5, -3),(2, 3, 1))$
la prima e l' ultima colonna sono linearmente dipendenti mentre non ci sono righe dipendenti
Stessa matrice con $k = 3$, $((4, 3, 2),(-6, -5, -3),(2, 3, 1))$
la prima e l' ultima colonna sono linearmente dipendenti mentre non ci sono righe dipendenti
$(2,3,1)=(-4)(4,3,2)+(-3)(-6,-5,-3)$
Che il numero di vettori riga e di vettori colonna indipendenti sia uguale è dimostrato.
Io risponderei così: il sistema
${(2alpha+4beta=-6),(kalpha+kbeta=-5),(alpha+2beta=-3) :}$ ha soluzioni per ogni $kne 0$, quindi potrai sempre scrivere la riga di mezzo come combinazione lineare delle altre due. Se $k=0$, la prima riga è il doppio della terza. Quindi le righe indipendenti sono sempre due.
Io risponderei così: il sistema
${(2alpha+4beta=-6),(kalpha+kbeta=-5),(alpha+2beta=-3) :}$ ha soluzioni per ogni $kne 0$, quindi potrai sempre scrivere la riga di mezzo come combinazione lineare delle altre due. Se $k=0$, la prima riga è il doppio della terza. Quindi le righe indipendenti sono sempre due.
Ok, sbagliato in pieno
grazie di tutto
grazie di tutto
In generale, risolvi il sistema omogeneo della matrice trasposta.
Ne risulterà un sistema indeterminato.
I coefficienti del parametro saranno i coefficienti per cui moltiplicare le righe iniziali.
Ne risulterà un sistema indeterminato.
I coefficienti del parametro saranno i coefficienti per cui moltiplicare le righe iniziali.
Ho trovato un altro esercizio
Sono date le matrici $A in RR^(3,2)$ e $B in RR^(2,3)$, una sola delle seguenti affermazioni è vera, quale ?
1 $det(AB) = det(A)*det(B)$
2 $rk(AB) = rk(A)*rk(B)$
3 $rk(AB) = 3$
4 $det(AB) = 0$
escludendo la prima, le altre potrebbero avere senso
se il $rk(A) = rk(B) = 1$, 2 non potrebbe essere,
allora la matrice $AB$ chi mi dice che non ha rango 1 e di conseguenza il $det(AB)$ sarà diverso da zero
potrebbe anche avere rango 3
Sono date le matrici $A in RR^(3,2)$ e $B in RR^(2,3)$, una sola delle seguenti affermazioni è vera, quale ?
1 $det(AB) = det(A)*det(B)$
2 $rk(AB) = rk(A)*rk(B)$
3 $rk(AB) = 3$
4 $det(AB) = 0$
escludendo la prima, le altre potrebbero avere senso
se il $rk(A) = rk(B) = 1$, 2 non potrebbe essere,
allora la matrice $AB$ chi mi dice che non ha rango 1 e di conseguenza il $det(AB)$ sarà diverso da zero
potrebbe anche avere rango 3
A e B hanno al max rango pari a 2. Il prodotto è una matrice 3x3 che nn può avere rango 3: immagina la prima matrice composta da due vettori appartenenti a $RR^3$; il risultato sarà una matrice composta da tre vettori in $RR^3$, di cui il primo è combinazione lineare dei due di A, secondo i coefficienti $b_(11),b_(21)$, il secondo secondo i coefficienti $b_(12),b_(22)$, il terzo secondo i coefficienti $b_(13),b_(23)$. Ovviamente due vettori possono generare al max uno spazio di dimensione 2, il che significa, per definizione di rango, che il rango del risultato sarà 2 al massimo e quindi $det(AB)=0$.
Le altre si potevano escludere a priori:
1) A e B sono matrici rettangolari, per cui nn è definito il determinante; altrimenti sarebbe stato corretto (teorema di Binet)
2) se $rank(A)=rank(B)=2⇒rank(AB)=4, AB∈RR^3$ , assurdo
3) esclusa dalla precedente dimostrazione.
Le altre si potevano escludere a priori:
1) A e B sono matrici rettangolari, per cui nn è definito il determinante; altrimenti sarebbe stato corretto (teorema di Binet)
2) se $rank(A)=rank(B)=2⇒rank(AB)=4, AB∈RR^3$ , assurdo
3) esclusa dalla precedente dimostrazione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo