Rango??
sia $ w={x in RR (2n) | AXB=0 } $ essendo $ A,B in RR (2n) $ che $A$ ha rango $n$ e $B^2=-I$ , per $x in w$ discutere il rango di $x$... o pensato di discutere facendo variare la $x$ cioè ponendo $x=B$ e $ x=I$ e discutendo i due casi
...molto incerto!!
...molto incerto!!
Risposte
qualcuno mi da una mano?!
Non è permesso fare "up" prima che siano trascorse le canoniche 24h. Porta pazienza...
Posso chiederti una cortesia, riesci a riscrivere la domanda in un modo più comprensibile? Non riesco a capire su cosa stai lavorando.
ho copiato l'esercizio come era... ti posso solo dire che dai dati che ho devo discutere il rango di $x$ al variare di questa
Cos'è $RR(2n)$?
dovrebbe rappresentare le matrici quadrate multiple tra loro, almeno cosi l'ho interpretato io
Non è che siano:
$RR^(n^2)$
$RR^(n^2)$
no avrebbe ancora meno senso
La dimensione degli endomorfismi di uno spazio di dimensione $n$ è $n^2$, $2n$ non significa nulla..
scusa questo esercizio non l'ho inventato io, me lo sono ritrovato sul compito se vuoi ti mando la mail con il compito allegato. Mi potresti spiegare questa cosa degli endo che sul mio libro non c'è o almeno non l'ho mai letta
Cosa studi?
ingegneria... ma cmq potresti darmi spiegazione per favore 
Ti rispondo qui, per tutte e due le parti. Allora, gli endomorfismi sono le funzioni, lineari, di uno spazio, supponiamo di dimensione $n$, in se stesso.
Sappiamo che, stabilendo una base dello spazio, possiamo definire le funzioni in base a come si comportando su ogni vettore della base. Definiamo così la base:
$V: < e_1,e_2,...,e_n>$
Essendo endomorfismi avranno per codominio lo stesso spazio.
Ora sai che puoi mandare il primo vettore della base in un multiplo di un vettore del codominio, potrai scegliere un vettore qualsiasi dello spazio d'arrivo che ha dimensione $RR^n$; il secondo vettore avrà ancora $RR^n$ scelte... Arrivi all'ennesimo vettore e anche qui devi scegliere tra $RR^n$ vettori. Quindi avrai $n$ vettori che hanno $RR^n$ possibilità, in totale $RR^n xx RR^n xx ... xx RR^n= RR^(n^2)$ possibilità di creare una funzione.
Altro modo di vederlo, le matrici associate a degli endomorfismi sono matrici quadrate con $nxxn$ elementi, per ognuno di questi elementi puoi scegliere liberamente un valore, avrai quindi dimensione $n^2$.
Sappiamo che, stabilendo una base dello spazio, possiamo definire le funzioni in base a come si comportando su ogni vettore della base. Definiamo così la base:
$V: < e_1,e_2,...,e_n>$
Essendo endomorfismi avranno per codominio lo stesso spazio.
Ora sai che puoi mandare il primo vettore della base in un multiplo di un vettore del codominio, potrai scegliere un vettore qualsiasi dello spazio d'arrivo che ha dimensione $RR^n$; il secondo vettore avrà ancora $RR^n$ scelte... Arrivi all'ennesimo vettore e anche qui devi scegliere tra $RR^n$ vettori. Quindi avrai $n$ vettori che hanno $RR^n$ possibilità, in totale $RR^n xx RR^n xx ... xx RR^n= RR^(n^2)$ possibilità di creare una funzione.
Altro modo di vederlo, le matrici associate a degli endomorfismi sono matrici quadrate con $nxxn$ elementi, per ognuno di questi elementi puoi scegliere liberamente un valore, avrai quindi dimensione $n^2$.
GIUSTO.... è verissimo!! scusa le mie affermazioni da ignorante... cmq tu sapresti dare una soluzione al mio problema?
$A$ ha rango $n$, questo significa che ha $ker=<0>$. Inoltre $B$ deve avere rango $n$ altrimenti non potrebbe essere pari all'identità quando elevata al quadrato. Ora l'unico vettore che applicato a $B$ dia zero, è il vettore nullo. Quindi ci serve una matrice $X$ che applicata ad ogni vettore di $n$ dia costantemente 0, questo ci dice che $X=0$.
sono arrivato a capo della soluzione.. ho $AXB=0$ e $B^2=-I$ quindi posso dire che: $detB^2=-1$ e di conseguenza: $AXBB^-1=0$ inplica cha $AX=0$ so che $kerx$ sta in $RR(2n)$ e che la sua immagine sta nel nucleo di A che a sua volta ha rango uguale a $n$ in definitiva per la proprietà del rango verifico che il $rankx=2n-n=n$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo