Rango 1

[calocalo22]

Salve. Data la matrice x y z (primo rigo) 1 1 -1 (secondo rigo) come faccio a determinare che il rango sia uguale a 1 seguendo il metodo di eliminazione di gauss cioè riducendo la matrice a scalini? Grazie

[minomic]

Ciao, intendi questa matrice? $$A = \begin{bmatrix}x&y&z\\1&1&-1\end{bmatrix}$$ Se è così allora questa matrice ha rango $1$ se le due righe sono linearmente dipendenti. E' quindi sufficiente imporre $$\begin{cases}x=y \\ y=-z\end{cases}$$ In definitiva la generica prima riga deve essere fatta nel seguente modo: $$\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}t\\t\\-t\end{bmatrix} = t\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}$$ Volendo invece utilizzare Gauss possiamo per prima cosa scambiare le righe: $$\begin{bmatrix}1&1&-1\\x&y&z\end{bmatrix}$$ Ora sottraiamo alla seconda riga la prima moltiplicata per $x$: $$\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&y-x&z+x\end{bmatrix}$$ Infine imponiamo che l'ultima riga sia tutta nulla (se così non fosse il rango sarebbe $2$): $$\begin{cases}y-x=0 \\ x+z=0\end{cases}$$ cioè lo stesso sistema di prima.

[calocalo22]

Grazie mille

[minomic]

Prego. E benvenuto sul forum!