Raggio spettrale matrice simmetrica
Salve a tutti
Sto realizzando un programma in c e dovrei calcolare il raggio spettrale di una matrice quadrata reale e simmetrica, cercando un pò in internet ho trovato che in questa circostanza vale la formula
\[||A||_2=p(A)\]
che è esattamente ciò che fa per me, però ho un dubbio su \(||A||_2\), infatti mi pare di aver capito che \(||A||_2\) della prima formula \(\neq\) dal \(||A||_2\) della seguente formula
\[||A||_2=\sqrt{\sum_i^n\sum_j^n{|a_{ij}|^2}}\]
Quello che vorrei sapere e se effettivamente i due \(||A||_2\) sono diversi, in cosa differiscono, e sopratutto come fare data la mia matrice quadrata reale e simmetrica a calcolarne il raggio spettrale
Grazie in anticipo a chiunque voglia rispondermi
Sto realizzando un programma in c e dovrei calcolare il raggio spettrale di una matrice quadrata reale e simmetrica, cercando un pò in internet ho trovato che in questa circostanza vale la formula
\[||A||_2=p(A)\]
che è esattamente ciò che fa per me, però ho un dubbio su \(||A||_2\), infatti mi pare di aver capito che \(||A||_2\) della prima formula \(\neq\) dal \(||A||_2\) della seguente formula
\[||A||_2=\sqrt{\sum_i^n\sum_j^n{|a_{ij}|^2}}\]
Quello che vorrei sapere e se effettivamente i due \(||A||_2\) sono diversi, in cosa differiscono, e sopratutto come fare data la mia matrice quadrata reale e simmetrica a calcolarne il raggio spettrale
Grazie in anticipo a chiunque voglia rispondermi
Risposte
up
Ciao. Per prima cosa, "i due \(\Vert A \Vert_2\)" sono certamente diversi: prova a calcolarli ad esempio sulla matrice identità (sai che uno dei due è il raggio spettrale \(\rho(A)\) e hai un'espressione esplicita dell'altro).
La quantità \(|A| = \left( \sum_{i,j} |a_{ij}|^2 \right)^{1/2} \) non è altro che l'usuale norma euclidea di \(A\), considerata come vettore in \(\mathbb{R}^{n^2}\), cioè mettendo in fila gli \(n^2\) elementi di \(A\) anziché in una tabella. In un certo senso, la quantità \(|A|\) non tiene conto del fatto che \(A\) è effettivamente una matrice e che, di conseguenza, agisce sui vettori di \(\mathbb{R}^n\). In altre parole, \(|A|\) non è legata alle proprierà operatoriali di \(A\), a differenza del raggio spettrale \(\rho(A)\).
La quantità \[ \Vert A \Vert_2 = \max_{\Vert x \Vert = 1} \Vert Ax \Vert \] dove \(\Vert \cdot \Vert\) indica la norma euclidea in \(\mathbb{R}^n\), è la norma operatoriale indotta dalla norma \(\Vert \cdot \Vert\): a differenza di \(|\cdot|\), per ogni coppia di matrici quadrate \(A\) e \(B\), si ha \(\Vert AB \Vert_2 \leq \Vert A \Vert_2 \, \Vert B \Vert_2\). La proprietà che lega questa norma al raggio spettrale è la seguente: \[\Vert A \Vert_2 = \sqrt{\rho(A^TA)}\] che, nel caso in cui \(A\) è una matrice simmetrica diventa \(\Vert A \Vert_2 = \rho(A)\).
La quantità \(|A| = \left( \sum_{i,j} |a_{ij}|^2 \right)^{1/2} \) non è altro che l'usuale norma euclidea di \(A\), considerata come vettore in \(\mathbb{R}^{n^2}\), cioè mettendo in fila gli \(n^2\) elementi di \(A\) anziché in una tabella. In un certo senso, la quantità \(|A|\) non tiene conto del fatto che \(A\) è effettivamente una matrice e che, di conseguenza, agisce sui vettori di \(\mathbb{R}^n\). In altre parole, \(|A|\) non è legata alle proprierà operatoriali di \(A\), a differenza del raggio spettrale \(\rho(A)\).
La quantità \[ \Vert A \Vert_2 = \max_{\Vert x \Vert = 1} \Vert Ax \Vert \] dove \(\Vert \cdot \Vert\) indica la norma euclidea in \(\mathbb{R}^n\), è la norma operatoriale indotta dalla norma \(\Vert \cdot \Vert\): a differenza di \(|\cdot|\), per ogni coppia di matrici quadrate \(A\) e \(B\), si ha \(\Vert AB \Vert_2 \leq \Vert A \Vert_2 \, \Vert B \Vert_2\). La proprietà che lega questa norma al raggio spettrale è la seguente: \[\Vert A \Vert_2 = \sqrt{\rho(A^TA)}\] che, nel caso in cui \(A\) è una matrice simmetrica diventa \(\Vert A \Vert_2 = \rho(A)\).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo