Raggio spettrale e convergenza
Sia $A$ una matrice che abbia raggio spettrale 1.
La successione ${A^k}_(k>=0)$ converge?
Se il raggio spettrale fosse minore di 1 convergerebbe alla matrice nulla, se fosse maggiore di uno non convergerebbe...ma in questo caso?
La successione ${A^k}_(k>=0)$ converge?
Se il raggio spettrale fosse minore di 1 convergerebbe alla matrice nulla, se fosse maggiore di uno non convergerebbe...ma in questo caso?
Risposte
Ad esempio, cosa succede se [tex]$A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix}$[/tex]?
Che poi, qui stiamo generalizzando una cosa proprio notissima. Prendiamo un numero reale $a$. Chiaro che il "raggio spettrale" di $a$ si riduce all'usuale valore assoluto. Se $|a|=1$, cosa si può dire della successione $a^n$? Proprio nulla: $1^n$ fa una cosa, $(-1)^n$ ne fa un'altra. Se già coi numeri reali (="matrici di ordine 1") c'è una situazione del genere, nell'aumentare l'ordine essa può solo peggiorare.
Concludiamo che è nella natura delle cose non poter dare informazioni sulla successione $A^n$ qualora il raggio spettrale di $A$ sia uguale ad $1$.
Concludiamo che è nella natura delle cose non poter dare informazioni sulla successione $A^n$ qualora il raggio spettrale di $A$ sia uguale ad $1$.
La matrice scritta da gugo non converge...
Il punto è...è possibile che la matrice converga se e solo se gli autovalori di modulo 1 hanno molteplicità 1?
Il punto è...è possibile che la matrice converga se e solo se gli autovalori di modulo 1 hanno molteplicità 1?
Ma se abbiamo appena esibito un controesempio. $(-1)$ è una matrice di ordine $1$, ha un autovalore solo (chi sarà mai? 
) di modulo $1$ e di molteplicità uno. E però non converge.
) di modulo $1$ e di molteplicità uno. E però non converge.
Appunto per questo ho postato il mio dubbio.
Come si può 'correggere' l'enunciato?
Come si può 'correggere' l'enunciato?
Te l'ho detto, secondo me non si può.
Non capisco cosa vuoi correggere nell'enunciato.
Nel caso in esame, esistono matrici con raggio spettrale [tex]$=1$[/tex] con comportamenti diversi: ad esempio se [tex]$A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$[/tex] la successione di termine generale [tex]$A^k$[/tex] converge solo se [tex]$a=0$[/tex] e non converge in tutti gli altri casi; se [tex]$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}$[/tex] con [tex]$|a|\leq 1$[/tex] la successione [tex]$A^k$[/tex] converge solo se [tex]$a\in ]-1,1]$[/tex]...
In generale, non capisco perché ti sembri così strano che non si possa affermare nulla di certo sul comportamento della successione di potenze [tex]$A^k$[/tex] se il raggio spettrale di [tex]$A$[/tex] è proprio [tex]$1$[/tex].
Dopotutto lo stesso succede in Analisi per le serie numeriche ed i criteri di convergenza assoluta, ad esempio, e nessuno se ne scandalizza.
Insomma, se sapessimo dire tutto di tutto a priori la Matematica sarebbe davvero noiosa, no?
Nel caso in esame, esistono matrici con raggio spettrale [tex]$=1$[/tex] con comportamenti diversi: ad esempio se [tex]$A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$[/tex] la successione di termine generale [tex]$A^k$[/tex] converge solo se [tex]$a=0$[/tex] e non converge in tutti gli altri casi; se [tex]$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}$[/tex] con [tex]$|a|\leq 1$[/tex] la successione [tex]$A^k$[/tex] converge solo se [tex]$a\in ]-1,1]$[/tex]...
In generale, non capisco perché ti sembri così strano che non si possa affermare nulla di certo sul comportamento della successione di potenze [tex]$A^k$[/tex] se il raggio spettrale di [tex]$A$[/tex] è proprio [tex]$1$[/tex].
Dopotutto lo stesso succede in Analisi per le serie numeriche ed i criteri di convergenza assoluta, ad esempio, e nessuno se ne scandalizza.
Insomma, se sapessimo dire tutto di tutto a priori la Matematica sarebbe davvero noiosa, no?
Aggiungo una veloce domanda: e se il raggio spettrale (autovalore di modulo massimo) fosse √(a+1) quali sono i valori di a per cui si ha convergenza? p.s. so che raggio spettrale minore di uno, ma non so calcolare il valore assoluto di un radicale...
Ciao. Per favore le prossime volte scrivi per bene le formule, trovi le istruzioni nel riquadro rosa in alto. Venendo alla tua domanda, si tratta di risolvere una immediata disequazione irrazionale, non è possibile che tu stia studiando argomenti così avanzati portandoti dietro dubbi del genere. Meglio andarsi a rivedere le disequazioni sul libro di scuola superiore o sull'eserciziario di Analisi 1. Ad esempio c'è un capitolo "disequazioni" sul primo volume di esercizi di Marcellini e Sbordone.
I $sqrt(a+1)$ § I <1, ecco qua.
Il mio dubbio non riguarda ovviamente temi di liceo, ma bensì la spiegazione della soluzione $sqrt(-1)$*$sqrt(a+1)$ <1.
Non so ma io a liceo non ho fatto numeri complessi.
Il mio dubbio non riguarda ovviamente temi di liceo, ma bensì la spiegazione della soluzione $sqrt(-1)$*$sqrt(a+1)$ <1.
Non so ma io a liceo non ho fatto numeri complessi.
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