Raggio riflesso
Ho un esercizio da proporvi dato che la mia soluzione (che comunque scriverò visto il regolamento) non mi soddisfa.
Fissato un sistema di riferimento (O,i,j,k) nello spazio euclideo tridimensionale, consideriamo il
piano α di equazione $2x-y-2z=1$ e la retta r intersezione dei piani $x=y$ e $z=2$
a) Calcolare le coordinate del punto A dove r interseca α e le
equazioni parametriche della retta u, passante per A ed
ortogonale ad α.
b) Calcolare le equazioni parametriche della retta r’ passante
per A, contenuta nel piano individuato da r ed u e che
forma con u lo stesso angolo di r (raggio riflesso).
Per il punto a) non ho avuto problemi, infatti scrivo direttamente le mie soluzioni (se vi va ricontrollate):
$A=(5,5,2)$ e u: $(x,y,z)=t(2,-1,-2)+(5,5,2)$ , con $t$ parametro reale.
Per il punto b) ho avuto dei problemi: scrivo comunque la mia soluzione.
Per trovare l'equazione parametrica di $r'$ devo trovare un vettore direttore e un punto di passaggio della retta, nel mio caso ho già il punto $A$. A questo punto il problema consiste nel trovare solamente il vettore direttore.
Chiamo quest'ultimo $v=ai+bj+ck$ e cerco tre condizioni per determinare le mie incognite.
La prima che ho usato è la complanarità tra $r$,$u$ e $r'$. Per fare ciò considero il vettore direttore di r (che dai calcoli viene $w=i+j$) e il vettore direttore di u (che dai calcoli viene $z=2i-j-2k$), li metto in una matrice, calcolo il determinante è impongo che questo sia uguale a zero (tre vettori geometrici sono linearmente dipendenti se e solo se sono complanari). Dal mio calcolo viene la relazione $2a-2b+3c=0$.
Per la seconda relazione sfrutto che l'angolo tra $r$ e $u$ è uguale all'angolo tra $u$ e $r'$. Attraverso il prodotto scalare tra i vettori direttori delle rette posso ottenere un'uguaglianza (essendo l'angolo tra di essi uguale, anche il coseno dei due angoli sarà uguale, e quindi ricavando questo coseno dalla formula del prodotto scalare uguaglio quello tra $v$ e $z$ e quello tra $z$ e $w$) che sarà la mia seconda relazione.
Per la terza relazione sfrutto ancora l'informazione sull'angolo, questa volta calcolando il coseno dell'angolo tra $r$ e $r'$ (ovvero l'angolo tra $w$ e $v$) che altri non è che il coseno di due volte l'angolo del punto precedente (si trova facilmente quanto vale $cos2x$ conoscendo $cosx$). Usando il prodotto scalare tra $w$ e $v$ ottengo la mia terza relazione.
L'ultimo passo è risolvere il sistema con le tre informazioni trovate.
Ora questo procedimento a me sembra formalmente giusto ma lo vedo un po' troppo lungo. Sapete darmi una soluzione migliore?. Grazie.
Fissato un sistema di riferimento (O,i,j,k) nello spazio euclideo tridimensionale, consideriamo il
piano α di equazione $2x-y-2z=1$ e la retta r intersezione dei piani $x=y$ e $z=2$
a) Calcolare le coordinate del punto A dove r interseca α e le
equazioni parametriche della retta u, passante per A ed
ortogonale ad α.
b) Calcolare le equazioni parametriche della retta r’ passante
per A, contenuta nel piano individuato da r ed u e che
forma con u lo stesso angolo di r (raggio riflesso).
Per il punto a) non ho avuto problemi, infatti scrivo direttamente le mie soluzioni (se vi va ricontrollate):
$A=(5,5,2)$ e u: $(x,y,z)=t(2,-1,-2)+(5,5,2)$ , con $t$ parametro reale.
Per il punto b) ho avuto dei problemi: scrivo comunque la mia soluzione.
Per trovare l'equazione parametrica di $r'$ devo trovare un vettore direttore e un punto di passaggio della retta, nel mio caso ho già il punto $A$. A questo punto il problema consiste nel trovare solamente il vettore direttore.
Chiamo quest'ultimo $v=ai+bj+ck$ e cerco tre condizioni per determinare le mie incognite.
La prima che ho usato è la complanarità tra $r$,$u$ e $r'$. Per fare ciò considero il vettore direttore di r (che dai calcoli viene $w=i+j$) e il vettore direttore di u (che dai calcoli viene $z=2i-j-2k$), li metto in una matrice, calcolo il determinante è impongo che questo sia uguale a zero (tre vettori geometrici sono linearmente dipendenti se e solo se sono complanari). Dal mio calcolo viene la relazione $2a-2b+3c=0$.
Per la seconda relazione sfrutto che l'angolo tra $r$ e $u$ è uguale all'angolo tra $u$ e $r'$. Attraverso il prodotto scalare tra i vettori direttori delle rette posso ottenere un'uguaglianza (essendo l'angolo tra di essi uguale, anche il coseno dei due angoli sarà uguale, e quindi ricavando questo coseno dalla formula del prodotto scalare uguaglio quello tra $v$ e $z$ e quello tra $z$ e $w$) che sarà la mia seconda relazione.
Per la terza relazione sfrutto ancora l'informazione sull'angolo, questa volta calcolando il coseno dell'angolo tra $r$ e $r'$ (ovvero l'angolo tra $w$ e $v$) che altri non è che il coseno di due volte l'angolo del punto precedente (si trova facilmente quanto vale $cos2x$ conoscendo $cosx$). Usando il prodotto scalare tra $w$ e $v$ ottengo la mia terza relazione.
L'ultimo passo è risolvere il sistema con le tre informazioni trovate.
Ora questo procedimento a me sembra formalmente giusto ma lo vedo un po' troppo lungo. Sapete darmi una soluzione migliore?. Grazie.
Risposte
Benvenuto al forum.
Io farei così: scelgo un punto P su r, es (1,1,2). Ne faccio il simmetrico rispetto alla retta u: P'. La retta che cerchi è quella che passa per A e P'.
Io farei così: scelgo un punto P su r, es (1,1,2). Ne faccio il simmetrico rispetto alla retta u: P'. La retta che cerchi è quella che passa per A e P'.
Posso chiederti come si fa?
"bugman":
Posso chiederti come si fa?
Spero che queste indicazioni ti bastino:
Scelto $P=(1,1,2)$ su $r$, procedi così:
a) piano $\alpha$ per $P$ e perpendicolare a $u$. Essendo $\vec u=(2,-1,-2)$ si ottiene $\alpha$: $2(x-1)-(y-1)-2(z-2)=0$.
b)fai l'intersezione di $\alpha$ con $u$, indichiamola con $M$.
c)essendo $M$ il punto medio tra $P$ e il suo simmetrico $P'$, si ha: $\vec P'=2\vec M - \vec P$
d)retta per A e P'.
Si possono bastare. Grazie mille
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