Raggio di una circonferenza esterna ad un triangolo
Ho un dubbio sulla risoluzione di questo problema, tratto dai Giochi di Archimede 2014, Triennio:
Sia $ABC$ un triangolo rettangolo i cui cateti $BC$ e $AC$ misurano rispettivamente $1$ e $2$. Consideriamo la circonferenza tangente all'ipotenusa del triangolo e alle rette che contengono $BC$ e $AC$, rispettivamente nei punti $T,Q,P$, esterna al triangolo $ABC$: quanto misura il raggio $r$?
Nella risoluzione viene considerato come in figura il quadrato di lato $r$ e si osserva che $bar{QB}=bar{BT}$ e $bar{PA}=bar{TA}$; con queste osservazioni si ha che $2r=bar{BC}+bar{CA}+bar{QB}+bar{PA}=bar{BC}+bar{CA}+bar{BT}+bar{TA}=3+sqrt(5)$ e quindi $r=(3+sqrt(5))/2$
Il mio dubbio concerne l'osservazione $bar{QB}=bar{BT}$ e $bar{PA}=bar{TA}$, perchè?
Sia $ABC$ un triangolo rettangolo i cui cateti $BC$ e $AC$ misurano rispettivamente $1$ e $2$. Consideriamo la circonferenza tangente all'ipotenusa del triangolo e alle rette che contengono $BC$ e $AC$, rispettivamente nei punti $T,Q,P$, esterna al triangolo $ABC$: quanto misura il raggio $r$?
Nella risoluzione viene considerato come in figura il quadrato di lato $r$ e si osserva che $bar{QB}=bar{BT}$ e $bar{PA}=bar{TA}$; con queste osservazioni si ha che $2r=bar{BC}+bar{CA}+bar{QB}+bar{PA}=bar{BC}+bar{CA}+bar{BT}+bar{TA}=3+sqrt(5)$ e quindi $r=(3+sqrt(5))/2$
Il mio dubbio concerne l'osservazione $bar{QB}=bar{BT}$ e $bar{PA}=bar{TA}$, perchè?
Risposte
Si tratta di un noto teorema che si studia in prima liceo e che concerne le tangenti a una circonferenza condotte da un punto esterno. Non è difficile dimostrarlo.
Adesso lo vedo chiaramente, ad esempio bastava tracciare il segmento $OB$ e considerare i triangoli $OQB$ e $OTB$ : gli angoli $Ohat{Q}B$ e $Ohat{T}B$ sono retti, i due triangoli hanno in comune il segmento $OB$ e inoltre $OQ~=OT$ poichè sono i raggi della circonferenza ergo i due triangoli sono congruenti.
Esatto (hanno anche un cateto uguale). 
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