Ragazzi ho un problema con la forma canonica di un sistema
Salve ragazzi allora, il problema testualmente è questo:
Dire se il vettore (-5/3;-4/3 ; 0; 0)T è una soluzione basica del sistema:
x1 -2x2 +x3 -x4 = 1
-2x1 +x2 -2x3 +2x4 = 2
x1 -5x2 +x3 -x4 = 5
ed in caso affermativo, porre il sistema in forma canonica rispetto ad essa.
Ho proceduto a verificare se sostituendo alle incognite la soluzione basica data tutte le equazioni sono soddisfatte, ed effettivamente è così. Ma non ho capito come fare a porre il sistema in forma canonica rispetto a questa soluzione.
Dire se il vettore (-5/3;-4/3 ; 0; 0)T è una soluzione basica del sistema:
x1 -2x2 +x3 -x4 = 1
-2x1 +x2 -2x3 +2x4 = 2
x1 -5x2 +x3 -x4 = 5
ed in caso affermativo, porre il sistema in forma canonica rispetto ad essa.
Ho proceduto a verificare se sostituendo alle incognite la soluzione basica data tutte le equazioni sono soddisfatte, ed effettivamente è così. Ma non ho capito come fare a porre il sistema in forma canonica rispetto a questa soluzione.
Risposte
ragazzi nessuno che mi può aiutare, grazie è importante
[mod="cirasa"]Vedo che sei iscritto da poco. Probabilmente non hai letto il regolamento. Ti invito a farlo.
Scoprirai che non sono consentiti up prima di 24 ore (punto 3.4).
Fai attenzione la prossima volta.[/mod]
Scoprirai che non sono consentiti up prima di 24 ore (punto 3.4).
Fai attenzione la prossima volta.[/mod]
scusate non succederà di nuovo, ciao
Specificaci meglio qual è la definizione di soluzione basica di un sistema lineare.
Non ho mai sentito questo termine, anche se posso immaginare a cosa si riferisca.
Non so, forse può essere utile a qualcuno.
Io direi che in sostanza dovresti risolvere il sistema lineare
${(x_1 -2x_2 +x_3 -x_4 = 1),(-2x_1 +x_2 -2x_3 +2x_4 = 2),(x_1 -5x_2 +x_3 -x_4 = 5):}$
Osserva che si tratta di un sistema lineare a 3 equazioni in 4 incognite.
La matrice dei coefficienti ha rango ... e quindi, dal teorema di Rouchè-Capelli, bisogna aspettarsi ... soluzioni. Prosegui tu
Se hai qualche dubbio chiedi pure
Non ho mai sentito questo termine, anche se posso immaginare a cosa si riferisca.
Non so, forse può essere utile a qualcuno.
Io direi che in sostanza dovresti risolvere il sistema lineare
${(x_1 -2x_2 +x_3 -x_4 = 1),(-2x_1 +x_2 -2x_3 +2x_4 = 2),(x_1 -5x_2 +x_3 -x_4 = 5):}$
Osserva che si tratta di un sistema lineare a 3 equazioni in 4 incognite.
La matrice dei coefficienti ha rango ... e quindi, dal teorema di Rouchè-Capelli, bisogna aspettarsi ... soluzioni. Prosegui tu
Se hai qualche dubbio chiedi pure
Io ho provato a sostituire la soluzione data alle incognite nell'equazione(x1=-5/3, x2=-4/3, ecc) per vedere se queste fossero soddisfatte ed è così. Quindi ho, non so se erroneamente, dedotto che quella data è una soluzione basica del sistema. Leggendo la definizione di soluzione basica: è la soluzione del sistema che ha "m" componenti corrispondenti ad una sottomatrice B di base della matrice A e le altre n-m componenti nulle. Come vediamo nella soluzione data le componenti nulle sono due e quindi > a n-m che è uguale a 1. Detto questo però secondo il testo le soluzioni che hanno componenti nulle >n-m sono dette soluzioni ammisibili basiche degeneri.
Detto ciò, per rispondere a cirasa, ho calcolato il rango con il metodo di eliminazione di Gauss, che è richiesto dal programma, ed è uguale a 2. Ma non riesco a capire come porre il sistema in forma canonica rispetto alla soluzione data. Grazie
Detto ciò, per rispondere a cirasa, ho calcolato il rango con il metodo di eliminazione di Gauss, che è richiesto dal programma, ed è uguale a 2. Ma non riesco a capire come porre il sistema in forma canonica rispetto alla soluzione data. Grazie
Devi semplicemente risolverlo.
Io, per esempio, ho applicato il metodo di eliminazione di Gauss al sistema e ho ottenuto
${(x_1 -2x_2 +x_3 -x_4 = 1),(-3x_2= 4),(-3x_2= 4):}$
da cui ho ottenuto la soluzione "in forma canonica" rispetto alla soluzione $(-5/3,-4/3,0,0)$.
Io, per esempio, ho applicato il metodo di eliminazione di Gauss al sistema e ho ottenuto
${(x_1 -2x_2 +x_3 -x_4 = 1),(-3x_2= 4),(-3x_2= 4):}$
da cui ho ottenuto la soluzione "in forma canonica" rispetto alla soluzione $(-5/3,-4/3,0,0)$.
scusami e perchè si dice che questo è in forma canonica rispetto a alla soluzione data?
Hai semplicemente triangolarizzato il sistema con il metodo di gauss? Grazie
Hai semplicemente triangolarizzato il sistema con il metodo di gauss? Grazie
Scusami il ritardo nella risposta.
Vorrei capire meglio cosa intendi per soluzione basica [tex]x_0[/tex].
Dunque, hai un sistema [tex]Ax=b[/tex] ([tex]A[/tex] matrice [tex]k\times n[/tex], [tex]x[/tex] vettore colonna di dimensione [tex]n[/tex], [tex]b[/tex] vettore dei termini noti di dimensione [tex]k[/tex]) di [tex]k[/tex] equazioni in [tex]n[/tex] incognite.
Credo di aver capito (correggimi se sbaglio) che stai denotando con [tex]m[/tex] il rango di [tex]A[/tex].
Stiamo supponendo che il sistema sia compatibile. Quindi esiste una soluzione.
Dunque, anche qui correggimi se sbaglio, una soluzione [tex]x_0[/tex] (è una [tex]n[/tex]-upla) del sistema si dice basica se contiene almeno [tex]n-m[/tex] elementi nulli.
Ora, con un po' di immaginazione, penso che "scrivere il sistema in forma canonica rispetto ad una soluzione basica" significhi scrivere le soluzioni nella forma
(*) [tex]x=x_0+a_1e_1+\dots+a_{n-m}e_{n-m}[/tex] al variare di [tex]a_1,\dots,a_{n-m}\in\mathbb{R}[/tex],
dove [tex]e_1,\dots,e_{n-m}[/tex] cosituisce una base di [tex]\ker A[/tex].
Che l'insieme delle soluzioni si possa scrivere nella forma (*) è garantito dal teorema di Rouchè-Capelli.
Nel nostro caso, risolvendo il sistema si trova che le soluzioni sono tali che
${(x_1=-5/3-a +b),(x_2=-4/3),(x_3= a),(x_4=b):}$
ovvero le soluzioni [tex]x=(x_1,\dots,x_4)^T[/tex] sono tutte e sole
$((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=((-5/3),(-4/3),(0),(0))+a((-1),(0),(0),(1))+b((1),(0),(0),(1))$
...che, se ho capito bene, dovrebbe essere la forma canonica del sistema rispetto a questa soluzione basica.
Vorrei capire meglio cosa intendi per soluzione basica [tex]x_0[/tex].
Dunque, hai un sistema [tex]Ax=b[/tex] ([tex]A[/tex] matrice [tex]k\times n[/tex], [tex]x[/tex] vettore colonna di dimensione [tex]n[/tex], [tex]b[/tex] vettore dei termini noti di dimensione [tex]k[/tex]) di [tex]k[/tex] equazioni in [tex]n[/tex] incognite.
Credo di aver capito (correggimi se sbaglio) che stai denotando con [tex]m[/tex] il rango di [tex]A[/tex].
Stiamo supponendo che il sistema sia compatibile. Quindi esiste una soluzione.
Dunque, anche qui correggimi se sbaglio, una soluzione [tex]x_0[/tex] (è una [tex]n[/tex]-upla) del sistema si dice basica se contiene almeno [tex]n-m[/tex] elementi nulli.
Ora, con un po' di immaginazione, penso che "scrivere il sistema in forma canonica rispetto ad una soluzione basica" significhi scrivere le soluzioni nella forma
(*) [tex]x=x_0+a_1e_1+\dots+a_{n-m}e_{n-m}[/tex] al variare di [tex]a_1,\dots,a_{n-m}\in\mathbb{R}[/tex],
dove [tex]e_1,\dots,e_{n-m}[/tex] cosituisce una base di [tex]\ker A[/tex].
Che l'insieme delle soluzioni si possa scrivere nella forma (*) è garantito dal teorema di Rouchè-Capelli.
Nel nostro caso, risolvendo il sistema si trova che le soluzioni sono tali che
${(x_1=-5/3-a +b),(x_2=-4/3),(x_3= a),(x_4=b):}$
ovvero le soluzioni [tex]x=(x_1,\dots,x_4)^T[/tex] sono tutte e sole
$((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=((-5/3),(-4/3),(0),(0))+a((-1),(0),(0),(1))+b((1),(0),(0),(1))$
...che, se ho capito bene, dovrebbe essere la forma canonica del sistema rispetto a questa soluzione basica.
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