Ragazzi ho un problema con la forma canonica di un sistema

gennarodeluca18
Salve ragazzi allora, il problema testualmente è questo:
Dire se il vettore (-5/3;-4/3 ; 0; 0)T è una soluzione basica del sistema:
x1 -2x2 +x3 -x4 = 1
-2x1 +x2 -2x3 +2x4 = 2
x1 -5x2 +x3 -x4 = 5
ed in caso affermativo, porre il sistema in forma canonica rispetto ad essa.
Ho proceduto a verificare se sostituendo alle incognite la soluzione basica data tutte le equazioni sono soddisfatte, ed effettivamente è così. Ma non ho capito come fare a porre il sistema in forma canonica rispetto a questa soluzione.

Risposte
gennarodeluca18
ragazzi nessuno che mi può aiutare, grazie è importante

cirasa
[mod="cirasa"]Vedo che sei iscritto da poco. Probabilmente non hai letto il regolamento. Ti invito a farlo.
Scoprirai che non sono consentiti up prima di 24 ore (punto 3.4).
Fai attenzione la prossima volta.[/mod]

gennarodeluca18
scusate non succederà di nuovo, ciao

cirasa
Specificaci meglio qual è la definizione di soluzione basica di un sistema lineare.
Non ho mai sentito questo termine, anche se posso immaginare a cosa si riferisca.
Non so, forse può essere utile a qualcuno.

Io direi che in sostanza dovresti risolvere il sistema lineare
${(x_1 -2x_2 +x_3 -x_4 = 1),(-2x_1 +x_2 -2x_3 +2x_4 = 2),(x_1 -5x_2 +x_3 -x_4 = 5):}$
Osserva che si tratta di un sistema lineare a 3 equazioni in 4 incognite.
La matrice dei coefficienti ha rango ... e quindi, dal teorema di Rouchè-Capelli, bisogna aspettarsi ... soluzioni. Prosegui tu :-)

Se hai qualche dubbio chiedi pure :wink:

gennarodeluca18
Io ho provato a sostituire la soluzione data alle incognite nell'equazione(x1=-5/3, x2=-4/3, ecc) per vedere se queste fossero soddisfatte ed è così. Quindi ho, non so se erroneamente, dedotto che quella data è una soluzione basica del sistema. Leggendo la definizione di soluzione basica: è la soluzione del sistema che ha "m" componenti corrispondenti ad una sottomatrice B di base della matrice A e le altre n-m componenti nulle. Come vediamo nella soluzione data le componenti nulle sono due e quindi > a n-m che è uguale a 1. Detto questo però secondo il testo le soluzioni che hanno componenti nulle >n-m sono dette soluzioni ammisibili basiche degeneri.
Detto ciò, per rispondere a cirasa, ho calcolato il rango con il metodo di eliminazione di Gauss, che è richiesto dal programma, ed è uguale a 2. Ma non riesco a capire come porre il sistema in forma canonica rispetto alla soluzione data. Grazie

cirasa
Devi semplicemente risolverlo.
Io, per esempio, ho applicato il metodo di eliminazione di Gauss al sistema e ho ottenuto
${(x_1 -2x_2 +x_3 -x_4 = 1),(-3x_2= 4),(-3x_2= 4):}$
da cui ho ottenuto la soluzione "in forma canonica" rispetto alla soluzione $(-5/3,-4/3,0,0)$.

gennarodeluca18
scusami e perchè si dice che questo è in forma canonica rispetto a alla soluzione data?
Hai semplicemente triangolarizzato il sistema con il metodo di gauss? Grazie

cirasa
Scusami il ritardo nella risposta.
Vorrei capire meglio cosa intendi per soluzione basica [tex]x_0[/tex].
Dunque, hai un sistema [tex]Ax=b[/tex] ([tex]A[/tex] matrice [tex]k\times n[/tex], [tex]x[/tex] vettore colonna di dimensione [tex]n[/tex], [tex]b[/tex] vettore dei termini noti di dimensione [tex]k[/tex]) di [tex]k[/tex] equazioni in [tex]n[/tex] incognite.
Credo di aver capito (correggimi se sbaglio) che stai denotando con [tex]m[/tex] il rango di [tex]A[/tex].

Stiamo supponendo che il sistema sia compatibile. Quindi esiste una soluzione.
Dunque, anche qui correggimi se sbaglio, una soluzione [tex]x_0[/tex] (è una [tex]n[/tex]-upla) del sistema si dice basica se contiene almeno [tex]n-m[/tex] elementi nulli.

Ora, con un po' di immaginazione, penso che "scrivere il sistema in forma canonica rispetto ad una soluzione basica" significhi scrivere le soluzioni nella forma
(*) [tex]x=x_0+a_1e_1+\dots+a_{n-m}e_{n-m}[/tex] al variare di [tex]a_1,\dots,a_{n-m}\in\mathbb{R}[/tex],
dove [tex]e_1,\dots,e_{n-m}[/tex] cosituisce una base di [tex]\ker A[/tex].
Che l'insieme delle soluzioni si possa scrivere nella forma (*) è garantito dal teorema di Rouchè-Capelli.

Nel nostro caso, risolvendo il sistema si trova che le soluzioni sono tali che
${(x_1=-5/3-a +b),(x_2=-4/3),(x_3= a),(x_4=b):}$
ovvero le soluzioni [tex]x=(x_1,\dots,x_4)^T[/tex] sono tutte e sole
$((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=((-5/3),(-4/3),(0),(0))+a((-1),(0),(0),(1))+b((1),(0),(0),(1))$
...che, se ho capito bene, dovrebbe essere la forma canonica del sistema rispetto a questa soluzione basica.

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