Radici reali polinomio caratteristico
considerando un'applicazione lineare che ha matrice associata rispetto una base di autovalori $lambda_1,...,lambda_n$ la matrice diagonale $D$ con sulla diagonale principale gli autovalori di f , sia m il numero di volte che si ripete $lambda$ sulla diagonale principale di $D$
il polinomio caratteristico di f è $P(lambda)=det(D-lambdaI)=(lambda_1-lamda)^(m_(lambda_1)) * (lambda_2-lamda)^(m_(lambda_2)) * ..... * (lambda_n-lamda)^(m_(lambda_n))$
perchè segue che ogni radice del polinomio caratteristico é reale?
Ps: è parte della dimostrazione dell implicazione : f è diagonalizzbile -> ogni radice del polinomio caratteristico è reale
grazie
il polinomio caratteristico di f è $P(lambda)=det(D-lambdaI)=(lambda_1-lamda)^(m_(lambda_1)) * (lambda_2-lamda)^(m_(lambda_2)) * ..... * (lambda_n-lamda)^(m_(lambda_n))$
perchè segue che ogni radice del polinomio caratteristico é reale?
Ps: è parte della dimostrazione dell implicazione : f è diagonalizzbile -> ogni radice del polinomio caratteristico è reale
grazie
Risposte
"zerbo1000":
considerando un'applicazione lineare che ha matrice associata rispetto una base di autovalori $ lambda_1,...,lambda_n $ la matrice diagonale $ D $ con sulla diagonale principale gli autovalori di f , sia m il numero di volte che si ripete $ lambda $ sulla diagonale principale di $ D $
il polinomio caratteristico di f è $ P(lambda)=det(D-lambdaI)=(lambda_1-lamda)^(m_(lambda_1)) * (lambda_2-lamda)^(m_(lambda_2)) * ..... * (lambda_n-lamda)^(m_(lambda_n)) $
perchè segue che ogni radice del polinomio caratteristico é reale?
Premesso che il messaggio l'hai scritto coi piedi, dato che il polinomio è di grado $n$ ed è scritto
\[
P(\lambda)=(\lambda_1-\lambda)\cdot\ldots\cdot(\lambda_n-\lambda),
\]
è ovvio che $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ sono anche le radici (infatti se le sostituisci a $lambda$ nella formula qui sopra ottieni zero).
"billyballo2123":
[quote="zerbo1000"]considerando un'applicazione lineare che ha matrice associata rispetto una base di autovalori $ lambda_1,...,lambda_n $ la matrice diagonale $ D $ con sulla diagonale principale gli autovalori di f , sia m il numero di volte che si ripete $ lambda $ sulla diagonale principale di $ D $
il polinomio caratteristico di f è $ P(lambda)=det(D-lambdaI)=(lambda_1-lamda)^(m_(lambda_1)) * (lambda_2-lamda)^(m_(lambda_2)) * ..... * (lambda_n-lamda)^(m_(lambda_n)) $
perchè segue che ogni radice del polinomio caratteristico é reale?
Premesso che il messaggio l'hai scritto coi piedi, dato che il polinomio è di grado $n$ ed è scritto
\[
P(\lambda)=(\lambda_1-\lambda)\cdot\ldots\cdot(\lambda_n-\lambda),
\]
è ovvio che $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ sono anche le radici (infatti se le sostituisci a $lambda$ nella formula qui sopra ottieni zero).[/quote]
Premesso che il messaggio lo ha scritto bene, visto che ha indicato con $m_{\lambda_i}$ le molteplicità delle soluzioni.... in ogni caso non gli hai dato una risposta. Quello che chiedeva l'utente è perché i $\lambda_i$ sono reali (e suppongo che questo, nella dimostrazione, discenda da un'altra osservazione).
Ora sono via e non riesco a scrivere
Si parte considerando il modulo di di lambda $|lambda|^2 = lambdaveclambda= lambda v^{h}v lambda $... dove c'è la freccetta c'èil simbolo di coniugato
Si parte considerando il modulo di di lambda $|lambda|^2 = lambdaveclambda= lambda v^{h}v lambda $... dove c'è la freccetta c'èil simbolo di coniugato
"ciampax":
Premesso che il messaggio lo ha scritto bene, visto che ha indicato con $m_{\lambda_i}$ le molteplicità delle soluzioni.... in ogni caso non gli hai dato una risposta. Quello che chiedeva l'utente è perché i $\lambda_i$ sono reali (e suppongo che questo, nella dimostrazione, discenda da un'altra osservazione).
Ribadendo che secondo me il messaggio è scritto male (non per la molteplicità delle soluzioni), la domanda dell'utente sembra essere questa:
perché il fatto che l'endomorfismo sia diagonalizzabile, ovvero il fatto che esista una base dello spazio vettoriale rispetto alla quale l'endomorfismo è rappresentato dalla matrice diagonale
\[
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & \lambda_n
\end{bmatrix},
\]
implica che le radici del polinomio caratteristiche siano reali?
(ovviamente i $\lambda_i$ che compaiono nella matrice sono reali e il fatto che qualcuno di questi abbia molteplicità maggiore di uno è irrilevante)
Risposta:
Dato che il polinomio caratteristico (che non dipende dalla base scelta) è $P(\lambda)=(\lambda_1-\lambda)\cdot\ldots\cdot(\lambda_n-\lambda)$, allora i $\lambda_i$ che ci sono sulla diagonale sono anche le radici del polinomio!
"billyballo2123":
Premesso che il messaggio l'hai scritto coi piedi, dato che il polinomio è di grado $ n $ ed è scritto
\[ P(\lambda)=(\lambda_1-\lambda)\cdot\ldots\cdot(\lambda_n-\lambda), \]
è ovvio che $ \lambda_1,\ldots,\lambda_n $ sono anche le radici (infatti se le sostituisci a $ lambda $ nella formula qui sopra ottieni zero).
Giustamente hai scritto che il polinomio caratteristico è di grado $n$, ma questo non giustifica il fatto che i suoi autovalori siano reali, anzi...
In ogni caso, discende dal th. spettrale che se la matrice $A$ è simmetrica ( e quindi hermitiana, e in particolare normale), allora tutti gli autovalori sono reali.
Proviamolo:
Per definizione di autovalore e autovettore:
$ Av=lambdav $ e possiamo assumere che l'autovettore $||v||=1$. altrimenti lo normalizziamo.
Si ha che: $ lambda = lambda underbrace(v^hv)_(||v||^2=1) = v^hAv = $ , ma poiché $A^H = A$, ossia A è hermitiana e possiamo scrivere: $ v^hA^hv = (underbrace(v^hAv)_lambda)^h= lambda ^h = bar(lambda) $,
Abbiamo dunque mostrato che $lambda = bar(lambda)$ e pertanto $lambda in mathbb(R)$.
grazie,
ma non sono tutte reali semplicemente perchè nel polinomio caratteristico non ci sono somme ma sono prodotti tra una parentesi e l'altra del $P(lambda)=(lambda_1-lambda).....(lambda_n-lambda)$ e allora ogni numero $lambda=lambda_i$ annulla il polinomio e i $lambda_i$ sono presi da una matrice di valori in $R$?
ma non sono tutte reali semplicemente perchè nel polinomio caratteristico non ci sono somme ma sono prodotti tra una parentesi e l'altra del $P(lambda)=(lambda_1-lambda).....(lambda_n-lambda)$ e allora ogni numero $lambda=lambda_i$ annulla il polinomio e i $lambda_i$ sono presi da una matrice di valori in $R$?
"zerbo1000":
ma non sono tutte reali semplicemente perchè nel polinomio caratteristico non ci sono somme ma sono prodotti tra una parentesi e l'altra del $ P(lambda)=(lambda_1-lambda).....(lambda_n-lambda) $ e allora ogni numero $ lambda=lambda_i $ annulla il polinomio e i $ lambda_i $ sono presi da una matrice di valori in $ R $?
No, ed ecco il controesempio.
Prova a diagonalizzare la seguente matrice $ [ ( 0 , -1 ),( 1 , 0 ) ] $ .
Il polinomio caratteristico è immediato e risulta: $x^2 +1 = 0$. E' evidente dunque che gli autovalori (che tiricordo essere gli zeri del polinomio caratteristico sono $lambda_1 = i$ e $lambda_2=-i$.
Scusatemi, non vorrei sembrare insistente, ma i $\lambda_i$ che ci sono sulla diagonale SONO TUTTI REALI. Se non lo fossero, allora l'endomorfismo di questo spazio vettoriale REALE non sarebbe diagonalizzabile!
"billyballo2123":
Scusatemi, non vorrei sembrare insistente, ma i $\lambda_i$ che ci sono sulla diagonale SONO TUTTI REALI. Se non lo fossero, allora l'endomorfismo di questo spazio vettoriale REALE non sarebbe diagonalizzabile!
scusa ma nell'esempio che ho postato nella matrice vi sono solamente numeri reali, eppure in $ mathbb(R) $ non è diagonalizzabile, ma solo in $ mathbb(C) $
"feddy":
scusa ma nell'esempio che ho postato nella matrice vi sono solamente numeri reali, eppure in $ mathbb(R) $ non è diagonalizzabile, ma solo in $ mathbb(C) $
A me è sembrato di capire che partiamo dall'ipotesi che la matrice sia diagonalizzabile (quindi il tuo esempio in cui compare una matrice non diagonalizzabile non capisco a cosa serva) e dobbiamo mostrare che gli autovalori dell'endomorfismo associato sono tutti reali. Chiarito questo, ribadisco che essendo i $\lambda_i$ che compaiono nella diagonale tutti reali, calcolando il polinomio caratteristico è immediato che le radici sono i $\lambda_i$.
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