Radice quarta di un complesso

[daniele_mat]

Salve a tutti, ho difficoltà nel risolvere un esercizio sui numeri complessi.
Ci sto provando da più di un giorno ma non riesco a trovare la soluzione. Probabilmente è semplice ma è da poco che ci sto lavorando.
Devo determinare i numeri complessi z tali che, elevati alla quarta, danno il complesso coniugato.
Qualcuno può aiutarmi?

[daniele_mat]

Ci avevo pensato. Una soluzione è quella banale, ma le altre non so come posso fare a ricavarle.
Un altro metodo che avevo pensato per ricavare la soluzione era moltiplicare ad entrambi i membri per z, trovando $z^5=|z|^2$ così da poter applicare la formula che mi permette di ricavare le radici. Ma anche così non sono arrivato a capo di nulla.
Saresti così gentile da mostrarmi come continuare nel procedimento che hai proposto tu?

[Gi81]

Alternativa: passare alle coordinate polari.
$z=0$ è soluzione. Cerchiamo le (eventuali) altre.
$z= rho e^(i alpha)$ con $rho >0 $ e $alpha in [0,2pi)$

Si ha $z^4= rho^4 e^(i4alpha)$ e $barz=rho e^(-ialpha)$
Dunque deve valere $rho^4=rho$ e $4alpha= -alpha +2kpi$
La prima implica che $rho=1$, la seconda che $5alpha= 2 kpi$, cioè $alpha= 2/5 k pi$
Poichè $alpha in [0,2pi)$, gli unici $k in ZZ$ accettabili sono $0,1,2,3,4$.

Pertanto ci sono sei soluzioni: $z_i=e^(i 2/5 k pi)$ , $i in {0,1,2,3,4} $ e $z_5=0$

[daniele_mat]

Grazie mille per le risposte