$r(A+B)<=r(A)+r(B)$
La proprietà è molto semplice e intuitiva; tuttavia, come potrei dimostrarla rigorosamente?
Risposte
Che caruccia questa proprietà! Non l'avevo mai incontrata...
Immagino che [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] siano matrici [tex]m\times n[/tex] a coefficienti in un campo [tex]\mathbb{K}[/tex] e [tex]r(A)[/tex] sia il rango di [tex]A[/tex].
La prima e unica cosa che mi è venuta in mente (anche se probabilmente c'è qualcosa di più breve) è passare alle applicazioni da [tex]\mathbb{K}^n[/tex] in [tex]\mathbb{K}^m[/tex] corrispondenti alle matrici [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex].
Poi puoi usare in modo opportuno la ben nota formula
[tex]\dim(\ker f)+\dim(\textrm{Im}\,f)=n[/tex] (dove [tex]f:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^m[/tex] è un'applicazione lineare)
e l'identità di Grassmann.
Prova ad usare questo suggerimento (anche se, lo ammetto, è un po' criptico
). Se ancora non ci riesci, ti darò un suggerimento più esplicito.
Immagino che [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] siano matrici [tex]m\times n[/tex] a coefficienti in un campo [tex]\mathbb{K}[/tex] e [tex]r(A)[/tex] sia il rango di [tex]A[/tex].
La prima e unica cosa che mi è venuta in mente (anche se probabilmente c'è qualcosa di più breve) è passare alle applicazioni da [tex]\mathbb{K}^n[/tex] in [tex]\mathbb{K}^m[/tex] corrispondenti alle matrici [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex].
Poi puoi usare in modo opportuno la ben nota formula
[tex]\dim(\ker f)+\dim(\textrm{Im}\,f)=n[/tex] (dove [tex]f:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^m[/tex] è un'applicazione lineare)
e l'identità di Grassmann.
Prova ad usare questo suggerimento (anche se, lo ammetto, è un po' criptico
). Se ancora non ci riesci, ti darò un suggerimento più esplicito.
E se invece pensassimo al rango come alla dimensione di un sottospazio? Ce la si potrebbe cavare direttamente con Grassman no?
Eh, già, hai ragione Mistake89. Avevo usato i cannoni per sparare alle mosche.
Possiamo cavarcela molto più facilmente ricordando la definizione di rango di una matrice: la dimensione dello spazio generato dalle colonne della matrice. E naturalmente Grassmann.
Possiamo cavarcela molto più facilmente ricordando la definizione di rango di una matrice: la dimensione dello spazio generato dalle colonne della matrice. E naturalmente Grassmann.
Ora Billy ha solo l'imbarazzo della scelta
And...the winner is..Sergio!
Per quanto riguarda la matrice A:B, ho che il suo rango non può che essere minore uguale alla somma r(A)+r(B) perché i vettori l.i. in A:B sono in numero max(r(A),r(B));
a questo punto, se n è l'ordine di A e B sommo le ultime n colonne di A:B alle prime; in questo modo:
1) ho sostituito alle prime colonne, una combinazione lineare delle altre e non ne ho modificato il determinante per la nota proprietà;
2) ho creato una nuova matrice $A:B_1$ le cui prime n colonne sono le stesse della matrice (A+B).
Elimino le ultime n colonne di $A:B_1$; in questo modo:
1) ho "creato" la matrice A+B che ha rango necessariamente $<=$ di $A:B_1$ essendone una sua parte;
2) poiché $r(A:B_1)<=r(A:B)<=r(A)+r(B)$, posso considerare la dimostrazione conclusa?
Per quanto riguarda la matrice A:B, ho che il suo rango non può che essere minore uguale alla somma r(A)+r(B) perché i vettori l.i. in A:B sono in numero max(r(A),r(B));
a questo punto, se n è l'ordine di A e B sommo le ultime n colonne di A:B alle prime; in questo modo:
1) ho sostituito alle prime colonne, una combinazione lineare delle altre e non ne ho modificato il determinante per la nota proprietà;
2) ho creato una nuova matrice $A:B_1$ le cui prime n colonne sono le stesse della matrice (A+B).
Elimino le ultime n colonne di $A:B_1$; in questo modo:
1) ho "creato" la matrice A+B che ha rango necessariamente $<=$ di $A:B_1$ essendone una sua parte;
2) poiché $r(A:B_1)<=r(A:B)<=r(A)+r(B)$, posso considerare la dimostrazione conclusa?
Nono..hai capito benissimo..sono io quello che ha supposto erroneamente che per sommare A e B, queste dovessero essere entrambe quadrate e dello stesso ordine!
Invece è sufficiente che siano dello stesso ordine !
Ma così mi crolla tutto!
Invece è sufficiente che siano dello stesso ordine !
Ma così mi crolla tutto!
Anzi no!
L'esercizio che mi ero proposto di risolvere richiedeva proprio di dimostrarlo nel caso in cui le matrici fossero quadrate!
In tal caso, la mia pseudo-dimostrazione è ALMENO IN PARTE accettabile?
L'esercizio che mi ero proposto di risolvere richiedeva proprio di dimostrarlo nel caso in cui le matrici fossero quadrate!
In tal caso, la mia pseudo-dimostrazione è ALMENO IN PARTE accettabile?
Ma no che non crolla tutto! Tranquillo!
Devi solo capire perchè continua a valere $r(A:B)\leq r(A)+r(B)$.
Poi devi fare qualche piccola modifica nel tuo post:
La parte in rosso diventa "il numero di colonne di A e B"
La parte in rosso diventa "il rango".
@ Sergio: Chissà che un giorno non inizi a dedicarmi anch'io alla statistica.
Il problema è che ci sono troppe cose che voglio imparare!
Devi solo capire perchè continua a valere $r(A:B)\leq r(A)+r(B)$.
Poi devi fare qualche piccola modifica nel tuo post:
"billytalentitalianfan":
a questo punto, se n è l'ordine di A e B sommo le ultime n colonne di A:B alle prime; in questo modo:
La parte in rosso diventa "il numero di colonne di A e B"
"billytalentitalianfan":
ho sostituito alle prime colonne, una combinazione lineare delle altre e non ne ho modificato il determinante per la nota proprietà
La parte in rosso diventa "il rango".
@ Sergio: Chissà che un giorno non inizi a dedicarmi anch'io alla statistica.
Il problema è che ci sono troppe cose che voglio imparare!
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