R^2 e C--> Isomorfismi proiettivi e omeomorfismi
Ho visto a lezione che una proiettività è un omeomorfismo e la dimostrazione mi torna... invece, un qualsiasi isomorfismo proiettivo è sempre un omeomorfismo?
Perchè mi è venuto il dubbio pensando a questo: $RR^2$ e $CC$ sono isomorfi come spazi vettoriali vedendo il piano complesso come $RR$-spazio... dunque l'isomorfismo si trasporta nel proiettivo, ovvero $P(CC)$ e $P(RR^2)=P^1(RR)$ sono proiettivamente isomorfi... mentre non sono omeomorfi infatti $S^!$ non è omeomorfo a $S^2$!!
E qui viene il bello... mi chiedo: da dove parte la relazione di equivalenza del proiettivo ( $[v]=[w]$ sse esiste uno scalare non nullo che manda $v$ in $w$) per arrivare a $P^1(CC)$? Da $CC$ o da $CC^2$? Perchè se parte da $CC$ e lo vedo come un piano, lo vedo come una copia esatta di $RR^2$, e non vedo perchè la relazione d'equivalenza mi faccia saltare l'omeomorfismo?? Perchè $RR^2$ e $CC$ oltre che isomorfi sono pure omeomorfi... vero??
Scusate la quantità di domande
Perchè mi è venuto il dubbio pensando a questo: $RR^2$ e $CC$ sono isomorfi come spazi vettoriali vedendo il piano complesso come $RR$-spazio... dunque l'isomorfismo si trasporta nel proiettivo, ovvero $P(CC)$ e $P(RR^2)=P^1(RR)$ sono proiettivamente isomorfi... mentre non sono omeomorfi infatti $S^!$ non è omeomorfo a $S^2$!!
E qui viene il bello... mi chiedo: da dove parte la relazione di equivalenza del proiettivo ( $[v]=[w]$ sse esiste uno scalare non nullo che manda $v$ in $w$) per arrivare a $P^1(CC)$? Da $CC$ o da $CC^2$? Perchè se parte da $CC$ e lo vedo come un piano, lo vedo come una copia esatta di $RR^2$, e non vedo perchè la relazione d'equivalenza mi faccia saltare l'omeomorfismo?? Perchè $RR^2$ e $CC$ oltre che isomorfi sono pure omeomorfi... vero??
Scusate la quantità di domande
Risposte
Sono due relazioni di equivalenza diverse. Se usi la struttura di campo di $\CC$, chiaramente il proiettivo di $\mathbb{P}(\CC)$ (quindi proiettando dalla retta complessa, che ha una sola dimensione complessa) è un singolo punto. Se invece usi solo la struttura di spazio vettoriale su $\RR$, hai due spazi che hanno dimensione reale due.
In questo caso $\mathbb{P}(\CC)$ e $\mathbb{P}(\RR^2)$ sono omeomorfi come varietà topologiche, diffeomorfi come varietà differenziabili e isomorfi come varietà algebriche reali.
Il punto è che se usi due prodotti diversi, ottieni risultati diversi.
In questo caso $\mathbb{P}(\CC)$ e $\mathbb{P}(\RR^2)$ sono omeomorfi come varietà topologiche, diffeomorfi come varietà differenziabili e isomorfi come varietà algebriche reali.
Il punto è che se usi due prodotti diversi, ottieni risultati diversi.
ma $P^1(CC)$ e $P^1(RR)$ non possono essere omeomorfi... il proiettivo complesso è omemorfo a $S^2$ e ha gruppo fondamentale isomorfo al gruppo banale, mentre il proiettivo reale è omeomorfo a $S^1$ che ha gruppo fondamentale isomorfo a $ZZ$...
Per non fare confusione, scrivo tutto esplicitamente, così che non cadiamo nell'errore di intendere due cose diverse con la stessa notazione. Consideriamo le quattro varietà seguenti:
\[X = (\mathbb{R} -\{ 0\})/\sim_1\]
dove la relazione è data da $z_1 ~ _1 z_2$ se e solo se esiste un $\lambda \in \RR$ tale che $z_1 = \lambda z_2$;
\[X_{bis} = (\mathbb{C} -\{ 0\})/\sim_1\]
dove la relazione è data da $z_1 ~ _1 z_2$ se e solo se esiste un $\lambda \in \CC$ tale che $z_1 = \lambda z_2$;
\[Y = (\mathbb{C} - \{0\})/\sim_2\]
dove la relazione è data da $z_1 ~ _2 z_2$ se e solo se esiste un $r \in \RR$ tale che $z_1 = r z_2$;
\[Z = (\mathbb{R}^2 -\{(0,0)\})/\sim_3\]
dove la relazione è data da $(a_1,b_1) ~_3 (a_2,b_2)$ se e solo se esiste un $r \in \RR$ tale che $(a_1,b_1) = r(a_2,b_2)$.
\[W = (\mathbb{C^2}-\{0,0\})/\sim_4\]
dove la relazione è data da $(z_1,w_1) ~_4 (z_2,w_2)$ se e solo se esiste un $\lambda \in \CC$ tale che $(z_1,w_1) = \lambda (z_2,w_2)$.
Dunque, $X$ (e$X_{bis}$) consiste in un solo punto; $Y$ e $Z$ sono fondamentalmente lo stesso spazio entrambi isomorfi (in tutti i modi possibili) alla circonferenza reale $S^1=\{(a,b) \in \RR^2: a^2 + b^2 =1\}$; $W$ è isomorfo alla $2$-sfera reale $S^2 = \{ (x,y,z) \in \RR^3\}$, detta sfera di Riemann o retta proiettiva.
$X$ (e$X_{bis}$) ha $0$ dimensioni reali e $0$ dimensioni complesse. $Y,Z$ hanno $1$ dimensione reale ma non si può definire una dimensione complessa. $W$ ha $2$ dimensioni come varietà reale ma una sola dimensione come varietà complessa.
Ho beccato qualcosa dei dubbi che hai?
\[X = (\mathbb{R} -\{ 0\})/\sim_1\]
dove la relazione è data da $z_1 ~ _1 z_2$ se e solo se esiste un $\lambda \in \RR$ tale che $z_1 = \lambda z_2$;
\[X_{bis} = (\mathbb{C} -\{ 0\})/\sim_1\]
dove la relazione è data da $z_1 ~ _1 z_2$ se e solo se esiste un $\lambda \in \CC$ tale che $z_1 = \lambda z_2$;
\[Y = (\mathbb{C} - \{0\})/\sim_2\]
dove la relazione è data da $z_1 ~ _2 z_2$ se e solo se esiste un $r \in \RR$ tale che $z_1 = r z_2$;
\[Z = (\mathbb{R}^2 -\{(0,0)\})/\sim_3\]
dove la relazione è data da $(a_1,b_1) ~_3 (a_2,b_2)$ se e solo se esiste un $r \in \RR$ tale che $(a_1,b_1) = r(a_2,b_2)$.
\[W = (\mathbb{C^2}-\{0,0\})/\sim_4\]
dove la relazione è data da $(z_1,w_1) ~_4 (z_2,w_2)$ se e solo se esiste un $\lambda \in \CC$ tale che $(z_1,w_1) = \lambda (z_2,w_2)$.
Dunque, $X$ (e$X_{bis}$) consiste in un solo punto; $Y$ e $Z$ sono fondamentalmente lo stesso spazio entrambi isomorfi (in tutti i modi possibili) alla circonferenza reale $S^1=\{(a,b) \in \RR^2: a^2 + b^2 =1\}$; $W$ è isomorfo alla $2$-sfera reale $S^2 = \{ (x,y,z) \in \RR^3\}$, detta sfera di Riemann o retta proiettiva.
$X$ (e$X_{bis}$) ha $0$ dimensioni reali e $0$ dimensioni complesse. $Y,Z$ hanno $1$ dimensione reale ma non si può definire una dimensione complessa. $W$ ha $2$ dimensioni come varietà reale ma una sola dimensione come varietà complessa.
Ho beccato qualcosa dei dubbi che hai?
Si quelli sono dei dubbi belli grossi che vorrei chiarire 
Probabilmente quando scrivevi di $X$ hai sbagliato a scrivere... suppongo che lo scalare della relazione d'equivalenza sia reale
Così mi sembra tornare, però c'è un trucco che non capisco: perchè in $Y$ prendi $CC$ con una singola componente mentre in $W$ è a due componenti?? Il $CC$ inteso da te nell'esempio $W$ è la copia sputata di $RR^2$ con l'isomorfismo:
$f: RR^2 --> CC$
$(1,0) -> 1$
$(0,1) -> i $
e quindi in realtà stai barando e mi stai parlando di $RR^2$ anzichè $CC$?
Probabilmente quando scrivevi di $X$ hai sbagliato a scrivere... suppongo che lo scalare della relazione d'equivalenza sia reale
Così mi sembra tornare, però c'è un trucco che non capisco: perchè in $Y$ prendi $CC$ con una singola componente mentre in $W$ è a due componenti?? Il $CC$ inteso da te nell'esempio $W$ è la copia sputata di $RR^2$ con l'isomorfismo:
$f: RR^2 --> CC$
$(1,0) -> 1$
$(0,1) -> i $
e quindi in realtà stai barando e mi stai parlando di $RR^2$ anzichè $CC$?
Ho corretto sopra, separando in $X$ caso reale e caso complesso.
Ma povero $\CC$ non è colpa sua se ha è uno spazio vettoriale $2$-dimensionale su $\RR$. Quando hai uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ su un campo $K$ puoi identificare $V$ con $K^{n}$ (scegliendo una base: l'isomorfismo non sarà canonico, ma è pur sempre un isomorfismo). Questo isomorfismo di spazi vettoriali (che qualora $K$ abbia qualche struttura topologica/differenziabile è anche isomorfismo tra $V$ e $K^n$ come varietà topologiche/differenziabili) passa al quoziente sulla relazione che definisce il proiettivo.
Ma povero $\CC$ non è colpa sua se ha è uno spazio vettoriale $2$-dimensionale su $\RR$. Quando hai uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ su un campo $K$ puoi identificare $V$ con $K^{n}$ (scegliendo una base: l'isomorfismo non sarà canonico, ma è pur sempre un isomorfismo). Questo isomorfismo di spazi vettoriali (che qualora $K$ abbia qualche struttura topologica/differenziabile è anche isomorfismo tra $V$ e $K^n$ come varietà topologiche/differenziabili) passa al quoziente sulla relazione che definisce il proiettivo.
Continuo a non capire
Dall'ultimo post che hai scritto, sembra che $W$ e $Y$ siano isomorfi in tutti i modi possibili, in quanto prima della relazione sono spazi vettoriali di dimensione $2$ e dopo la relazione sono spazi proiettivi di dimensione $1$,e quindi isomorfi pure dopo la proiezione. Ma rimane il fatto che $W$ è $S^2$ ovvero è la sfera di Riemann, mentre $Y$ è un $S^1$....che però non sono omeomorfi.. O mi stai parlando di isomorfismi che non sono omemorfismi topologici (magari tra spazi proettivi, e qui rislago alla domanda "l'isomorfismo proiettivo è un omeomorfismo") oppure non ti sto seguendo
Dall'ultimo post che hai scritto, sembra che $W$ e $Y$ siano isomorfi in tutti i modi possibili, in quanto prima della relazione sono spazi vettoriali di dimensione $2$ e dopo la relazione sono spazi proiettivi di dimensione $1$,e quindi isomorfi pure dopo la proiezione. Ma rimane il fatto che $W$ è $S^2$ ovvero è la sfera di Riemann, mentre $Y$ è un $S^1$....che però non sono omeomorfi.. O mi stai parlando di isomorfismi che non sono omemorfismi topologici (magari tra spazi proettivi, e qui rislago alla domanda "l'isomorfismo proiettivo è un omeomorfismo") oppure non ti sto seguendo
Ho capito le tue perplessità. Mi ero perso un esponente. $W$ viene da un quoziente di $\CC^2$. Ora dovrebb essere corretto.
Ok... adesso mi torna $W$... però continuo ad avere un'altra perplessità: secondo me è $X_bis$ ad essere isomorfo a $Z$ e non $Y$ per problemi di dimensione come spazi vettoriali...
Potresti però spiegarmi un'altra cosa? Quando affermi che l'isomorfismo tra $V$ e $K^n$ passa al quoziente, intendi che gli spazi quozientati sono ancora isomorfi/omeomorfi? Perchè se fosse così allora avrei che "$P^1(CC)$ è omeomorfo a $P(RR^4)=P^3(RR)$"... ma non è possibile in quanto i gruppi fondamentali sono diversi.
Potresti però spiegarmi un'altra cosa? Quando affermi che l'isomorfismo tra $V$ e $K^n$ passa al quoziente, intendi che gli spazi quozientati sono ancora isomorfi/omeomorfi? Perchè se fosse così allora avrei che "$P^1(CC)$ è omeomorfo a $P(RR^4)=P^3(RR)$"... ma non è possibile in quanto i gruppi fondamentali sono diversi.
$X$ e $X_{\bis}$ hanno entrambi un solo punto, quindi non può essere isomorfo a nessuno degli altri eccetto $X$, che è anch'esso dato da un solo punto.
Per il secondo punto. Ancora fai confusione con i campi. Se cambi campo degli scalari, in generale si può dire poco su come cambiano i proiettivi. $\RR^4$ è uno spazio vettoriale di dimensione $4$ su $\RR$ così come $\CC^2$, ma per ottenere $W$ fai la relazione quozientando con scalari di $\CC$, per ottenere $\mathbb{P}(\RR^4)$ quozienti con scalari di $\RR$. Se quozienti $\CC^2$ con scalari di $\RR$ ottieni in effetti una copia di $\mathbb{P}(\RR^3)$.
Per il secondo punto. Ancora fai confusione con i campi. Se cambi campo degli scalari, in generale si può dire poco su come cambiano i proiettivi. $\RR^4$ è uno spazio vettoriale di dimensione $4$ su $\RR$ così come $\CC^2$, ma per ottenere $W$ fai la relazione quozientando con scalari di $\CC$, per ottenere $\mathbb{P}(\RR^4)$ quozienti con scalari di $\RR$. Se quozienti $\CC^2$ con scalari di $\RR$ ottieni in effetti una copia di $\mathbb{P}(\RR^3)$.
Altro che errore di campi... ho sbagliato a leggere le righe... son proprio fuso
Ok, adesso comincio a vederci più chiaro... nonostante siano spazi proiettivi della stessa dimensione, non sono nemmeno proiettivamente equivalenti perchè si riferiscono a campi diversi...
Ultimissima domanda (spero :p) : gli isomorfismi proiettivi sono omeomorfismi? Se non lo sono, come lo posso costruire un controesempio?
Ok, adesso comincio a vederci più chiaro... nonostante siano spazi proiettivi della stessa dimensione, non sono nemmeno proiettivamente equivalenti perchè si riferiscono a campi diversi...
Ultimissima domanda (spero :p) : gli isomorfismi proiettivi sono omeomorfismi? Se non lo sono, come lo posso costruire un controesempio?
Sono della stessa dimensione, ma della stessa dimensione su due campi diversi; sono parenti solo perche' $\RR$ sta dentro $\CC$ (non cosa da poco, sia chiaro). Se pensi a uno spazio proiettivo di dimensione $3$ su uno spazio finito, e' di dimensione $3$ come $\mathbb{P}(\RR^4)$, ma non sono neanche lontanamente parenti. Insomma...in tutta la geometria proiettiva (almeno quella di base), e anche in quella non proiettiva, si fissa il campo base e si usano spazi vettoriali su quel campo. Se cambi campo, cambia un po' tutto.
Io ho sempre pensato che un isomorfismo proiettivo viene da un isomorfismo (quindi una mappa lineare biiettiva) tra gli spazi vettoriali che ci sono sopra. Quindi la continuita' l'ho sempre data per buona senza pensare. Pero' mi rendo conto che non mi sono mai curato della definizione esatta di isomorfismo proiettivo. Se la scrivi, ci penso volentieri.
Io ho sempre pensato che un isomorfismo proiettivo viene da un isomorfismo (quindi una mappa lineare biiettiva) tra gli spazi vettoriali che ci sono sopra. Quindi la continuita' l'ho sempre data per buona senza pensare. Pero' mi rendo conto che non mi sono mai curato della definizione esatta di isomorfismo proiettivo. Se la scrivi, ci penso volentieri.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo