$q(x,y,z)=xy+z^2$
Salve ragazzi, non riesco a diagonalizzare la suddetta forma quadratica :
$q : RR^3 -> RR$ t.c $q(x,y,z)=xy+z^2$.
Fissata $B={e_1,e_2,e_3}$ canonica di $RR^3$ ho che la matrice associata a $q$ rispetto a tale base è $A=((0,1/2,0),(1/2,0,0),(0,0,1))$. Noto che $det(A)=-1/4 !=0 => q$ è non degenere e quindi una base orgonale per $g$ è composta da vettori non isotropi.
Allora scelto $e_3 $ noto che $f(e_3)=1!=0$,dopodiché devo trovare un vettore ortogonale ad $e_3$ rispetto a $g$,
considero $e_3^T ={ v = (x,y,z) \in RR^3 | g(v,e_3=0=g(e_3,v)}$
e mi risulta che $e_3^T=={v=xe_1+ye_2 | x,y \in RR}$ ma sia $e_1$ ed $e_2$ sono tali che $q(e_i)=0$, $i \in {1,2}$.
A questo punto so che non posso prendere ne $e_1 $ e ne $e_2$. Mi accorgo che prendendo $e_1+e_2 => q(e_1,e_2)=1!=0$
Quindi fino a questo punto ho che $v_1=e_3$ ed $v_2=e_1+e_2$ sono vettori tra loro ortogonali.
Devo trovare ora un'ultimo vettore che sia ortogonale sia a $v_1$ che a $v_2$.
Determino $^Tnn^T={ v = (x,y,0) | g(v,e_1+e_3)=0}=<(1,-1,0)=w>$ ed ho che $q(w)=-1$
Quindi lo posso prendere.. pertanto avrei che una base diagonalizzante per $q$ è data da ${v_1,v_2,w}$.
E giusto il modo di diagonalizzare? Più che altro, è giusto il ragionamento che attuo nella diagonalizzazione? grazie mille.
$q : RR^3 -> RR$ t.c $q(x,y,z)=xy+z^2$.
Fissata $B={e_1,e_2,e_3}$ canonica di $RR^3$ ho che la matrice associata a $q$ rispetto a tale base è $A=((0,1/2,0),(1/2,0,0),(0,0,1))$. Noto che $det(A)=-1/4 !=0 => q$ è non degenere e quindi una base orgonale per $g$ è composta da vettori non isotropi.
Allora scelto $e_3 $ noto che $f(e_3)=1!=0$,dopodiché devo trovare un vettore ortogonale ad $e_3$ rispetto a $g$,
considero $e_3^T ={ v = (x,y,z) \in RR^3 | g(v,e_3=0=g(e_3,v)}$
e mi risulta che $e_3^T=
A questo punto so che non posso prendere ne $e_1 $ e ne $e_2$. Mi accorgo che prendendo $e_1+e_2 => q(e_1,e_2)=1!=0$
Quindi fino a questo punto ho che $v_1=e_3$ ed $v_2=e_1+e_2$ sono vettori tra loro ortogonali.
Devo trovare ora un'ultimo vettore che sia ortogonale sia a $v_1$ che a $v_2$.
Determino $
Quindi lo posso prendere.. pertanto avrei che una base diagonalizzante per $q$ è data da ${v_1,v_2,w}$.
E giusto il modo di diagonalizzare? Più che altro, è giusto il ragionamento che attuo nella diagonalizzazione? grazie mille.
Risposte
A me pare corretto (poi ti rispondo anche nell'altro thread).
grazie del!
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