Quozienti e omeomorfismi
Sia X uno spazio topologico Hausdorff, II numerabile e semplicemente connesso.
Sia $f :X → X$ una funzione iniettiva e continua. Sia $NN$ l’insieme dei numeri naturali munito della
topologia discreta. Su $NN × X$ si consideri la relazione $(m, x) ∼ (n, y)$ se $f^n(x) = f^m(y)$,
dove si ponga $f^0 = id$ e $f^j := f^(j−1) ◦ f$, per $j in N$, $j ≥ 1$.
Posto $Y := (NN × X)/ ∼ $con la topologia quoziente, sia $pi : NN × X → Y$ la proiezione naturale e per $n in NN$ si definisca $i_n : X → N × X $ tramite $i_n(x) = (n, x)$.
Sia $g_n := pi ◦ i_n$.
Si provi che $g_n$ è iniettiva, continua e aperta (ovvero è un omeomorfismo sulla sua immagine)
La funzione $g_n$ è iniettiva (perchè l'ho verificato a mano), continua (perchè composizione di funzioni continue)..ma come faccio a far vedere che è aperta? Il quoziente proprio non lo riesco a visualizzare..non so quali sono gli aperti! Si, so che ha la topologia quoziente, ma non so nemmeno quali siano gli aperti di $NN × X$! Come devo procedere?
Grazie mille
Sia $f :X → X$ una funzione iniettiva e continua. Sia $NN$ l’insieme dei numeri naturali munito della
topologia discreta. Su $NN × X$ si consideri la relazione $(m, x) ∼ (n, y)$ se $f^n(x) = f^m(y)$,
dove si ponga $f^0 = id$ e $f^j := f^(j−1) ◦ f$, per $j in N$, $j ≥ 1$.
Posto $Y := (NN × X)/ ∼ $con la topologia quoziente, sia $pi : NN × X → Y$ la proiezione naturale e per $n in NN$ si definisca $i_n : X → N × X $ tramite $i_n(x) = (n, x)$.
Sia $g_n := pi ◦ i_n$.
Si provi che $g_n$ è iniettiva, continua e aperta (ovvero è un omeomorfismo sulla sua immagine)
La funzione $g_n$ è iniettiva (perchè l'ho verificato a mano), continua (perchè composizione di funzioni continue)..ma come faccio a far vedere che è aperta? Il quoziente proprio non lo riesco a visualizzare..non so quali sono gli aperti! Si, so che ha la topologia quoziente, ma non so nemmeno quali siano gli aperti di $NN × X$! Come devo procedere?
Grazie mille
Risposte
Sono andata avanti (dando per scontato che $g_n$ sia aperta) ed ho dimostrato che $Y=uuu_{n in NN} g_n(X)$.
Adesso devo provare che Y è Hausdorff, II numberabile e semplicemente connesso.
Allora visto che è X è Hausdorff, $g_n$ essendo un omeomorfismo, manda Hausdorff in Hausdorff! Ma adesso, unione di Hausdorff è Hausdorff?
Poi per quanto riguarda la II numerabilità non so...devo prendere proprio degli aperti e far vedere che appartengano ad una base?
Grazie per l'aiuto...
Adesso devo provare che Y è Hausdorff, II numberabile e semplicemente connesso.
Allora visto che è X è Hausdorff, $g_n$ essendo un omeomorfismo, manda Hausdorff in Hausdorff! Ma adesso, unione di Hausdorff è Hausdorff?
Poi per quanto riguarda la II numerabilità non so...devo prendere proprio degli aperti e far vedere che appartengano ad una base?
Grazie per l'aiuto...
L'unica idea che mi viene in mente è dimostrare che le \(\displaystyle i_n\) e \(\displaystyle\pi_n\) sono funzioni aperte!
Del resto ne discutiamo più in là.
Del resto ne discutiamo più in là.
Si ma nin so proprio come dimostrare che $pi$ sia aperta
Grazie mille comunque! Ci conto, perchè questo fatto mi ha incuriosita molto ! Grazie ancora
Grazie mille comunque
! Ci conto, perchè questo fatto mi ha incuriosita molto ! Grazie ancora
Lavorare con \(\displaystyle\pi\) è facile: "non ci sono santi e madonne, l'orazione è sempre la stessa": considera un aperto \(\displaystyle A\) di \(\displaystyle X\times\mathbb{N}\) (ricordati la topologia sul secondo fattore) e calcola \(\displaystyle\pi^{-1}(\pi(A))\)... perché devi fare così?
Devo fare così perchè so che nella topologia quoziente gli aperti sono tutti quelli tali che la controimmagine sia aperta nell'insieme di partenza. Il problema è che io non capisco come lavora di preciso questa proiezione..quindi non so se $pi^(-1)(pi(A))=A$
Ma non devi dimostrare che
Inizia almeno a scrivere la definizione di tali insiemi.
"melli13":devi studiare \(\displaystyle\pi^{-1}(\pi(A))\); volendo snellire la notazione: poni \(\displaystyle B=\pi(A)\) e studi \(\displaystyle\pi^{-1}(B)\).
...$pi^(-1)(pi(A))=A$
Inizia almeno a scrivere la definizione di tali insiemi.
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