Quozienti e azioni di gruppo
Si dica se la proiezione $pi:RR->RR$/$QQ$ sul quoziente per l'azione del gruppo $QQ$ su $RR$ definita dall'addizione è aperta, chiusa, e se il quoziente è di Hausdorff e compatto
Innanzitutto, vorrei capire meglio come è fatto questo quoziente. Posso dire che nella classe di 0 ci sono tutti i razionali e poi ho infinite classi di numeri irrazionali che non differiscono per un razionale...
!! Giusto?
Innanzitutto, vorrei capire meglio come è fatto questo quoziente. Posso dire che nella classe di 0 ci sono tutti i razionali e poi ho infinite classi di numeri irrazionali che non differiscono per un razionale...
!! Giusto?
Risposte
Sono andata avanti ed ho capito che non è importante visualizzare bene questo quoziente..Per verificare che $pi$ sia aperta e chiusa ci sono riuscita..
!! Però per dire se è compatto e Hausdorff proprio non saprei...qualche suggerimento?
!! Però per dire se è compatto e Hausdorff proprio non saprei...qualche suggerimento?
È ragionevole pensare che quel quoziente dia come risultato un punto. Ma in questo momento non ho i mezzi per verificare la cosa. Prova a dimostrarlo tu, o a confutarlo
Non vorrei dire una fesseria, ma la topologia sul quoziente non è banale? Sia $x$ un punto del quoziente.
Sia $U$ un aperto che continene $x$. Allora $\pi^{-1} (U)$ è un aperto che contiene la preimmagine di $x$, che è densa in $\RR$. Supponiamo che $a$ sia un punto di $\RR$ non contenuto nella preimmagine di $U$. Allora nessun punto nella classe di equivalenza di $a$ è contenuto nella preimmagine di $U$. Ma anche la classe di equivalenza di $a$ è densa in $\RR$ e quindi deve intersecare ogni aperto non vuoto. Segue una contraddizione, e quindi $a$ è contenuto nella preimmagine di $U$.
Se la preimmagine di $U$ è tutto quanto $\RR$, allora $U$ è tutto quanto lo spazio quoziente, perché la proiezione è suriettiva.
Se è giusto, seguirebbe che la proiezione è aperta ma non chiusa. In quanto sullo spazio quoziente la topologia è banale, lo spazio non è Hausdorff ma è compatto.
Tutto questo fila, ma mi sembra strano. Quindi forse ho sbagliato qualcosa da qualche parte.
Dubbio: sicura che il quoziente sia sotto l'azione di gruppo e non solo il quoziente topologico? Se anche fosse giusto così come hai scritto, trovo che lo studio del quoziente topologico $\RR / \QQ$ possa essere interessante. (o almeno, se non altro la topologia non sarebbe quella banale...quasi, ma non proprio)...
Altro dubbio: non è che su $\RR$ c'è qualche topologia strana per cui i razionali non sono densi?
Sia $U$ un aperto che continene $x$. Allora $\pi^{-1} (U)$ è un aperto che contiene la preimmagine di $x$, che è densa in $\RR$. Supponiamo che $a$ sia un punto di $\RR$ non contenuto nella preimmagine di $U$. Allora nessun punto nella classe di equivalenza di $a$ è contenuto nella preimmagine di $U$. Ma anche la classe di equivalenza di $a$ è densa in $\RR$ e quindi deve intersecare ogni aperto non vuoto. Segue una contraddizione, e quindi $a$ è contenuto nella preimmagine di $U$.
Se la preimmagine di $U$ è tutto quanto $\RR$, allora $U$ è tutto quanto lo spazio quoziente, perché la proiezione è suriettiva.
Se è giusto, seguirebbe che la proiezione è aperta ma non chiusa. In quanto sullo spazio quoziente la topologia è banale, lo spazio non è Hausdorff ma è compatto.
Tutto questo fila, ma mi sembra strano. Quindi forse ho sbagliato qualcosa da qualche parte.
Dubbio: sicura che il quoziente sia sotto l'azione di gruppo e non solo il quoziente topologico? Se anche fosse giusto così come hai scritto, trovo che lo studio del quoziente topologico $\RR / \QQ$ possa essere interessante. (o almeno, se non altro la topologia non sarebbe quella banale...quasi, ma non proprio)...
Altro dubbio: non è che su $\RR$ c'è qualche topologia strana per cui i razionali non sono densi?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo