Quoziente su $CC$
Si consideri $X=CC$ munito della topologia euclidea, e si consideri la seguente relazione di equivalenza: $z_1~z_2$ se e solo se $z_1=z_2$ oppure $|z_1|>=1$,$|z_2|>=1$ ed esiste $ainR^{ast}$ tale che $z_1=az_2$. Sia $Y=X//~$ munito della topologia quoziente. Si mostri che $Y$ è compatto e T2 e si determini se esso sia omeomorfo ad uno dei seguenti: $S^1xxS^1,S^1xx[0,1],P^2(RR)$ o $S^2$.
Io ho considerato $D^2$ (il disco unitario in $CC$) e ho costruito la seguente mappa:
dove $~~$ è la relazione di antipodalità sul bordo, cioè per ogni $z_1,z_2inD^2$ $z_1~~z_2$ se e solo se $z_1=z_2$ oppure $|z_1|=|z_2|=1$ e $z_1=-z_2$, $i$ è l'inclusione, $\pi$ è la proiezione su $Y$ e $p$ è la proiezione su $D^2//~~$.
Osserviamo che $D^2$ interseca ogni classe di equivalenza di $Y$ per cui $\pi\circi$ è suriettiva e continua (composizione di funzioni continue) e siccome $D^2$ è compatto allora $Y$ è compatto. Se ora mostro che esiste una funzione continua $r:CC->D^2$ tale che $r\circi=Id_(D^2)$ e $r(x)~x$ per ogni $x inX$ allora la funzione $f:D^2//~~->Y$ è un omeomorfismo e siccome $D^2//~~$ è omeomorfo a $\mathbb{P}^2(RR)$ si ha che $Y$ è T2. Io ho considerato la funzione $r(x)={(x,if x inD^2),(x/|x|,if xnotinD^2):}$, ma non sono sicuro sia continua. Per quanto detto prima $Y$ è omeomorfo a $\mathbb{P}^2(RR)$. Ora mi basta vedere che il gruppo fondamentale di $\mathbb{P}^2(RR)$ è diverso da quelli di $S^1xxS^1,S^1xx[0,1],S^2$. Si ha che $\Pi_1(S^2)~={0}$ e usando che $\Pi_1(S^1)~=ZZ$ si ha che $\Pi_1(S^1xxS^1)~=ZZxxZZ$, $\Pi_1(S^1xx[0,1])~=ZZxx{0}=ZZ$ (poichè $[0,1]$ è convesso, $\Pi_1[0,1]~={0}$). Infine si ha che $\Pi_1(\mathbb{P}^2(RR))~=ZZ_2$, però questo l'ho dovuto cercare su internet e non saprei come dimostrarlo (ho letto che si fa con Van Kampen, che ho fatto l'ultima volta a lezione, ma solo la parte più "semplice" con gli aperti). Se qualcuno mi sa dire come mostrare che $\Pi_1(\mathbb{P}^2(RR))~=ZZ_2$ e dirmi se il resto può andar bene o è da fare differentemente, grazie.
Io ho considerato $D^2$ (il disco unitario in $CC$) e ho costruito la seguente mappa:
dove $~~$ è la relazione di antipodalità sul bordo, cioè per ogni $z_1,z_2inD^2$ $z_1~~z_2$ se e solo se $z_1=z_2$ oppure $|z_1|=|z_2|=1$ e $z_1=-z_2$, $i$ è l'inclusione, $\pi$ è la proiezione su $Y$ e $p$ è la proiezione su $D^2//~~$.
Osserviamo che $D^2$ interseca ogni classe di equivalenza di $Y$ per cui $\pi\circi$ è suriettiva e continua (composizione di funzioni continue) e siccome $D^2$ è compatto allora $Y$ è compatto. Se ora mostro che esiste una funzione continua $r:CC->D^2$ tale che $r\circi=Id_(D^2)$ e $r(x)~x$ per ogni $x inX$ allora la funzione $f:D^2//~~->Y$ è un omeomorfismo e siccome $D^2//~~$ è omeomorfo a $\mathbb{P}^2(RR)$ si ha che $Y$ è T2. Io ho considerato la funzione $r(x)={(x,if x inD^2),(x/|x|,if xnotinD^2):}$, ma non sono sicuro sia continua. Per quanto detto prima $Y$ è omeomorfo a $\mathbb{P}^2(RR)$. Ora mi basta vedere che il gruppo fondamentale di $\mathbb{P}^2(RR)$ è diverso da quelli di $S^1xxS^1,S^1xx[0,1],S^2$. Si ha che $\Pi_1(S^2)~={0}$ e usando che $\Pi_1(S^1)~=ZZ$ si ha che $\Pi_1(S^1xxS^1)~=ZZxxZZ$, $\Pi_1(S^1xx[0,1])~=ZZxx{0}=ZZ$ (poichè $[0,1]$ è convesso, $\Pi_1[0,1]~={0}$). Infine si ha che $\Pi_1(\mathbb{P}^2(RR))~=ZZ_2$, però questo l'ho dovuto cercare su internet e non saprei come dimostrarlo (ho letto che si fa con Van Kampen, che ho fatto l'ultima volta a lezione, ma solo la parte più "semplice" con gli aperti). Se qualcuno mi sa dire come mostrare che $\Pi_1(\mathbb{P}^2(RR))~=ZZ_2$ e dirmi se il resto può andar bene o è da fare differentemente, grazie.
Risposte
E' evidente che lo spazio quoziente che cerchi sia omeomorfo a \(\mathbb{RP}^2\) perché quello con cui ti trovi è il disco modulo antipodia del bordo (infatti un punto sul bordo del disco è identificato alla semiretta \(\{tz\mid t\ge 1\}\) e in più al punto \(-z\)).
Per mostrare che \(\pi_1(\mathbb{RP}^2)\cong\mathbb Z/2\) (\(\Pi_1\) è il gruppoide fondamentale, \(\pi_1\) il gruppo fondamentale), senza usareVan Kampen, puoi usare la teoria dei rivestimenti, ma semmai quella è persino più avanzata. Non capisco perché, in effetti, provi a trovare il suo gruppo fondamentale: forse per vedere che gli spazi restanti non sono omeomorfi tra loro? Ma \(\mathbb{RP}^2\) non è omeomorfo a nessuno, perché non è orientabile, e gli altri lo sono; toro e sfera non sono omeomorfi, hanno genere diverso; cilindro e sfera e cilindro e toro non sono omeomorfi (il cilindro ha bordo).
Per mostrare che \(\pi_1(\mathbb{RP}^2)\cong\mathbb Z/2\) (\(\Pi_1\) è il gruppoide fondamentale, \(\pi_1\) il gruppo fondamentale), senza usareVan Kampen, puoi usare la teoria dei rivestimenti, ma semmai quella è persino più avanzata. Non capisco perché, in effetti, provi a trovare il suo gruppo fondamentale: forse per vedere che gli spazi restanti non sono omeomorfi tra loro? Ma \(\mathbb{RP}^2\) non è omeomorfo a nessuno, perché non è orientabile, e gli altri lo sono; toro e sfera non sono omeomorfi, hanno genere diverso; cilindro e sfera e cilindro e toro non sono omeomorfi (il cilindro ha bordo).
"megas_archon":
E' evidente che lo spazio quoziente che cerchi sia omeomorfo a \(\mathbb{RP}^2\) perché quello con cui ti trovi è il disco modulo antipodia del bordo (infatti un punto sul bordo del disco è identificato alla semiretta \(\{tz\mid t\ge 1\}\) e in più al punto \(-z\)).
Si infatti la mia idea era di fare quello, solo che devo mostrarlo rigorosamente, piu che altro la parte sulla funzione $r$ (per trovare in qualche modo l'omeomorfismo) non ero sicuro, mi confermi? Grazie.
"megas_archon":
Per mostrare che \(\pi_1(\mathbb{RP}^2)\cong\mathbb Z/2\) (\(\Pi_1\) è il gruppoide fondamentale, \(\pi_1\) il gruppo fondamentale), senza usareVan Kampen, puoi usare la teoria dei rivestimenti, ma semmai quella è persino più avanzata. Non capisco perché, in effetti, provi a trovare il suo gruppo fondamentale: forse per vedere che gli spazi restanti non sono omeomorfi tra loro? Ma \(\mathbb{RP}^2\) non è omeomorfo a nessuno, perché non è orientabile, e gli altri lo sono; toro e sfera non sono omeomorfi, hanno genere diverso; cilindro e sfera e cilindro e toro non sono omeomorfi (il cilindro ha bordo).
Si avevo visto anche questo su internet, ma si tratta di una simulazione d'esame noi non abbiamo fatto per niente l'orientabilità, quindi senza cercare su internet non saprei niente su di essa (e all'esame non posso cercare su internet) quindi mi devo affidare alle cose fatte e dimostrate o dimostrarle al momento, perciò ho optato per i gruppi fondamentali che mi sembravano più semplici, per questo, altrimenti avrei fatto come dici tu anche "fidandomi di aver visto su internet". ( inoltre non ho fatto nemmeno la teoria dei rivestimenti, dato che ho appena iniziato il gruppo fondamentale e mancano 4 lezioni alla fine del corso non credo lo faremo in topologia)
Penso che la domanda fosse formulata in questa maniera: "trova l'unico tra questi spazi che è omeomorfo al quoziente in questione".
Mostrare rigorosamente che tutti quegli spazi non sono isomorfi tra loro è più complicato di quel che credi (cioè farà capo a cose elementari, ma che probabilmente non hai visto); il che dovrebbe spronarti a impararle, per fare prima e risolvere i problemi in maniera più elegante.
Oppure hai uno di quei docenti scemi che pretende gli esami si facciano solo con quel che sapete perché insegnato da lui/lei?
Mostrare rigorosamente che tutti quegli spazi non sono isomorfi tra loro è più complicato di quel che credi (cioè farà capo a cose elementari, ma che probabilmente non hai visto); il che dovrebbe spronarti a impararle, per fare prima e risolvere i problemi in maniera più elegante.
Oppure hai uno di quei docenti scemi che pretende gli esami si facciano solo con quel che sapete perché insegnato da lui/lei?
Mentre volevo sapere quella parte con T2 se andasse bene, ovvero questa parte:
Intendo anche se esiste un modo migliore per dimostrare che $Y$ è T2, grazie.
"andreadel1988":
Se ora mostro che esiste una funzione continua $r:CC->D^2$ tale che $r\circi=Id_(D^2)$ e $r(x)~x$ per ogni $x inX$ allora la funzione $f:D^2//~~->Y$ è un omeomorfismo e siccome $D^2//~~$ è omeomorfo a $\mathbb{P}^2(RR)$ si ha che $Y$ è T2. Io ho considerato la funzione $r(x)={(x,if x inD^2),(x/|x|,if xnotinD^2):}$, ma non sono sicuro sia continua.
Intendo anche se esiste un modo migliore per dimostrare che $Y$ è T2, grazie.
"andreadel1988":
Se ora mostro che esiste una funzione continua $r:CC->D^2$ tale che $r\circi=Id_(D^2)$ e $r(x)~x$ per ogni $x inX$ allora la funzione $f:D^2//~~->Y$ è un omeomorfismo e siccome $D^2//~~$ è omeomorfo a $\mathbb{P}^2(RR)$ si ha che $Y$ è T2. Io ho considerato la funzione $r(x)={(x,if x inD^2),(x/|x|,if xnotinD^2):}$, ma non sono sicuro sia continua.
Per chiunque volesse sapere se questo ragionamento sia giusto, si lo è poichè mi è stato confermato da otta96 (che ringrazio) che la funzione $r$ è continua, poi che valga $r\circi=Id_(D^2)$ e $r(x)~x$ per ogni $x inCC$ si dimostra subito e in questo modo ho dimostrato che $f$ è omeomorfismo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo