"vedere" un quoziente topologico con un omemorfismo
Dato questo esercizio:
"Si consideri su $RR^2$ la seguente relazione di equivalenza:
$v~w$ se e solo se $EE n in N$ tale che $|| v || = || w || = n$ oppure $v=w$.
Si indichi con $X$ lo spazio quoziente.
(1) Mostrare che $X$ e' uno spazio topologico connesso ma non compatto.
(2) Dire se $X$ e' una varieta topologica.
(3) Sia $gamma: [0,1] -> X$ un'applicazione continua: dimostrare che esiste $Y sub X$ compatto tale che $gamma([0,1]) sub Y$, a parte interna non vuota;
(4) Calcolare il gruppo fondamentale di X;"
La prima cosa che ho fatto e' stato "vedere" meglio questo quoziente: collassando tutti i bordi dei dischi di raggio intero a un punto (ogni disco ha un suo proprio punto), ho pensato a $X$ come a una "collana" di $S^2$ che ha un inizio ma non termina. Ho pensato di vedere l'omemorfismo di ogni disco quozientato a una sfera di $RR^3$ via compattificazione di Alexandrov.
Io ho detto che allora $X$ non e' compatto perche' e' illimitato (utilizzando la classificazione dei compatti in $RR^n$), ma il professore ha detto che non e' giusto perche' su $X$ non posso applicare risultati visti sugli spazi $RR^n$. Ce l'ha risolta in un altro modo, ma questo non importa. La domanda e': la compattificazione di Alexandroi di un singolo disco non mi basta a "prolungare" l'omeomorfismo per tutto $RR^2$, procedendo induttivamente? L'omemorfismo va proprio esplicitato su tutto lo spazio?
Per concludere ha risolto il punto 4 calcolando il gruppo fondamentale con Van Kampen, pero' stavolta ha studiato la collana di $S^2$ prendendo intelligentemente degli aperti (questo pezzo mi torna, se volete la soluzione la posto
.
Allora posso dire che $X$ e' una collana di sfere e studiarla come "figura" (ad esempio l'applicazione di Van Kampen) senza immergerla in $RR^3$?
"Si consideri su $RR^2$ la seguente relazione di equivalenza:
$v~w$ se e solo se $EE n in N$ tale che $|| v || = || w || = n$ oppure $v=w$.
Si indichi con $X$ lo spazio quoziente.
(1) Mostrare che $X$ e' uno spazio topologico connesso ma non compatto.
(2) Dire se $X$ e' una varieta topologica.
(3) Sia $gamma: [0,1] -> X$ un'applicazione continua: dimostrare che esiste $Y sub X$ compatto tale che $gamma([0,1]) sub Y$, a parte interna non vuota;
(4) Calcolare il gruppo fondamentale di X;"
La prima cosa che ho fatto e' stato "vedere" meglio questo quoziente: collassando tutti i bordi dei dischi di raggio intero a un punto (ogni disco ha un suo proprio punto), ho pensato a $X$ come a una "collana" di $S^2$ che ha un inizio ma non termina. Ho pensato di vedere l'omemorfismo di ogni disco quozientato a una sfera di $RR^3$ via compattificazione di Alexandrov.
Io ho detto che allora $X$ non e' compatto perche' e' illimitato (utilizzando la classificazione dei compatti in $RR^n$), ma il professore ha detto che non e' giusto perche' su $X$ non posso applicare risultati visti sugli spazi $RR^n$. Ce l'ha risolta in un altro modo, ma questo non importa. La domanda e': la compattificazione di Alexandroi di un singolo disco non mi basta a "prolungare" l'omeomorfismo per tutto $RR^2$, procedendo induttivamente? L'omemorfismo va proprio esplicitato su tutto lo spazio?
Per concludere ha risolto il punto 4 calcolando il gruppo fondamentale con Van Kampen, pero' stavolta ha studiato la collana di $S^2$ prendendo intelligentemente degli aperti (questo pezzo mi torna, se volete la soluzione la posto
.Allora posso dire che $X$ e' una collana di sfere e studiarla come "figura" (ad esempio l'applicazione di Van Kampen) senza immergerla in $RR^3$?
Risposte
Mi sembra tu abbia ragione a dire che \(X\cong \bigvee_{n=0}^\infty S^2\); d questo deduci immediatamente che il suo gruppo fondamentale e' banale.
Per la compattezza, uno spazio e' compatto quando ogni suo ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito: prendi il ricoprimento aperto che contiene la prima sfera unito un intorno del polo sud della seconda, un intorno del polo nord della prima sfera + la seconda sfera + un intorno del polo sud della terza sfera, e cosi' via. Questo ricoprimento non ammette sottoricoprimenti finiti, o almeno cosi' mi sembra (togli un aperto, non hai piu' un ricoprimento).
Per la compattezza, uno spazio e' compatto quando ogni suo ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito: prendi il ricoprimento aperto che contiene la prima sfera unito un intorno del polo sud della seconda, un intorno del polo nord della prima sfera + la seconda sfera + un intorno del polo sud della terza sfera, e cosi' via. Questo ricoprimento non ammette sottoricoprimenti finiti, o almeno cosi' mi sembra (togli un aperto, non hai piu' un ricoprimento).
Sisi la compattezza l'ho risolta con degli aperti saturi su $RR^2$, ovvero prendendo i dischi aperti di raggio $n + 1/2$ al variare di $n in NN$. Ma visto che mi hai dato ragione dell'omemorfismo, perchè posso usare Van Kampen come fossero realmente delle $S^2$ ma non posso immergerle in $RR^3$ (e quindi utilizzare risultati validi nello spazio euclideo), visto che una collana di $S^2$ vive lì?
Tanto per evitare incomprensioni, secondo me succede questo. Ignoro perche' non si possa arguire mediante la topologia di un sottospazio di $\mathbb R^3$.
Non so se è una cosa voluta o meno, comunque preciso che il raggio delle $S^2$ rimane costante su tutta la collana, non cresce al variare di $n in NN$. Quindi è lecito trattarlo a qualcosa di omemorfo a un sottospazio di $RR^3$?
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