"simmetrizzabilità"
Oggi mi è venuto in mente questo problema:
Sia dato il classico sistema lineare $Ax=b$ con soluzione unica ($A$ invertibile).
Inizio a trasformarlo in sistemi equivalenti al primo semplicemente scambiando righe o, più in generale, sostituendo ogni riga con una combinazione lineare delle righe originarie stando attento a non formare righe linearmente dipendenti dalle altre.
Poi do il sistema trasformato ad un amico ignaro di tutto quello che ho fatto.
Ammettiamo che io sia partito da $A$ simmetrica, il sistema che do all'amico in generale non ha matrice simmetrica. Come potrebbe fare l' amico a capire che in effetti ero partito da una matrice simmetrica o a escluderlo? Nel qual caso come potrebbe inoltre ritrasformare il sistema che gli ho dato per riottenere un sistema equivalente ma con matrice simmetrica? (matrice simmetrica non necessariamente uguale a quella di partenza, basta pensare al caso in cui A originaria sia diagonale)
Formalizzando un po' di più la questione, il problema diventa:
Sia data una matrice $AinRR^(n * n)$ invertibile, cioè $det(A)!=0$.
(1) Esiste un criterio matematico (possibilmente semplice) per stabilire se esiste un' altra matrice $UinRR^(n * n)$ sempre invertibile tale che $U*A$ sia una matrice simmetrica?
[in pratica $U$ fa una combinazione lineare delle righe di $A$ evitando di formare nuove righe linearmente dipendenti dalle altre]
(2) Nel caso in cui U esistesse, come potrei calcolarla? (basta una $U$ possibile)
quindi si tratta di vedere se l'equazione matriciale $UA=A^TU^T$ ammetta soluzione in $U$ con $A$ assegnata, e in tal caso trovarne almeno una.
trovo che la questione sia abbastanza utile perchè le matrici simmetriche hanno molte buone proprietà
grazie
Sia dato il classico sistema lineare $Ax=b$ con soluzione unica ($A$ invertibile).
Inizio a trasformarlo in sistemi equivalenti al primo semplicemente scambiando righe o, più in generale, sostituendo ogni riga con una combinazione lineare delle righe originarie stando attento a non formare righe linearmente dipendenti dalle altre.
Poi do il sistema trasformato ad un amico ignaro di tutto quello che ho fatto.
Ammettiamo che io sia partito da $A$ simmetrica, il sistema che do all'amico in generale non ha matrice simmetrica. Come potrebbe fare l' amico a capire che in effetti ero partito da una matrice simmetrica o a escluderlo? Nel qual caso come potrebbe inoltre ritrasformare il sistema che gli ho dato per riottenere un sistema equivalente ma con matrice simmetrica? (matrice simmetrica non necessariamente uguale a quella di partenza, basta pensare al caso in cui A originaria sia diagonale)
Formalizzando un po' di più la questione, il problema diventa:
Sia data una matrice $AinRR^(n * n)$ invertibile, cioè $det(A)!=0$.
(1) Esiste un criterio matematico (possibilmente semplice) per stabilire se esiste un' altra matrice $UinRR^(n * n)$ sempre invertibile tale che $U*A$ sia una matrice simmetrica?
[in pratica $U$ fa una combinazione lineare delle righe di $A$ evitando di formare nuove righe linearmente dipendenti dalle altre]
(2) Nel caso in cui U esistesse, come potrei calcolarla? (basta una $U$ possibile)
quindi si tratta di vedere se l'equazione matriciale $UA=A^TU^T$ ammetta soluzione in $U$ con $A$ assegnata, e in tal caso trovarne almeno una.
trovo che la questione sia abbastanza utile perchè le matrici simmetriche hanno molte buone proprietà
grazie
Risposte
up
Prendi $S$ matrice simmetrica qualunque, e poni $U=SA^(-1)$: ecco fatto che $UA$ è simmetrica (la cosa più semplice è prendere $S=I$). O forse vuoi che $U$ sia prodotto di matrici elemantari, visto che parli di riduzione di Gauss?
http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_elementare
http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_elementare
grazie mille. (Mi sono reso conto d aver chiesto una cosa stupida! 
)
se invece il sistema di partenza è del tipo $Addot x+Bx=0$ con $A$ e $B$ inizialmente simmetriche? esiste un'unica $U$ invertibile tale che sia $UA'$ che $UB'$ sono simmetriche?
Ho indicato con $A'$ che $B'$ le matrici trasformate di $A$ che $B$ dopo le cominazioni lineari riga per riga.
)se invece il sistema di partenza è del tipo $Addot x+Bx=0$ con $A$ e $B$ inizialmente simmetriche? esiste un'unica $U$ invertibile tale che sia $UA'$ che $UB'$ sono simmetriche?
Ho indicato con $A'$ che $B'$ le matrici trasformate di $A$ che $B$ dopo le cominazioni lineari riga per riga.
qualcuno saprebbe come fare?
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