"generatore" di quadriche in R^3
A dire il vero più che di un problema si tratta di una curiosità personale, ma vorrei sapere cosa succede in questo caso:
Consideriamo 2 rette sghembe in $R^3$. Siano tali rette $r$ e $s$, e i punti della prima sono della forma $P(t)=vt+p$ mentre quelli della seconda sono della forma $Q(t)=wt+q$, con$v,p,w,q\in\R^3$e $t$ reale. Considerando l'insieme $A$ dato dall'unione dei punti che stanno sulle rette congiungenti $P(t)$ e $Q(t)$ ho che:
$$A=\{(x,y,z)\in R^3| (x,y,z)=\lambda P(t)+(1-\lambda)Q(t)\}$$
per qualche $\lambda,t\in R$. Se vado a scrivere le equazioni esplicitamente, mi trovo un sistema di tre equazioni nelle variabili $x,y,z,\lambda,t$. Perciò alla fine posso ricavarmi una cosa del tipo $p(x,y,z)=0$ e dovrebbe (correggetemi se sbaglio) venire sempre una qualche quadrica.
La domanda è: se prendessi il punto $Q$ in modo indipendente da $P$, per esempio $Q(\theta)$, e considerassi i punti dati dall'unione di tutte queste rette che congiungono $P(t)$ e $Q(\theta)$, cosa avrei? Alla fine avrei una incognita in più, quindi il sistema sarebbe di 3 equazioni in 6 variabili, e alla fine dovrei avere qualcosa del tipo $p(x,y,z,\theta)=0$. Questo significa (se ho ben capito) che i punti considerati stavolta sono l'unione dei punti appartenenti ai supporti delle quadriche che si ottengono variando $\theta$ in $p(x,y,z,\theta)$. E l'unione di questi punti cosa mi dà? Se prima capivo che si trattava di una quadrica, ora non ne ho idea. L'unione di tutte le quadriche al variare di $\theta$ cosa mi dà? Non credo che mi dia tutto $R^3$, ma allora che particolare superficie ottengo considerando il supporto di $p(x,y,z,\theta)$? E' solo un insieme di punti che varia da caso a caso o c'è una qualche struttura generale? Grazie dell'aiuto
Consideriamo 2 rette sghembe in $R^3$. Siano tali rette $r$ e $s$, e i punti della prima sono della forma $P(t)=vt+p$ mentre quelli della seconda sono della forma $Q(t)=wt+q$, con$v,p,w,q\in\R^3$e $t$ reale. Considerando l'insieme $A$ dato dall'unione dei punti che stanno sulle rette congiungenti $P(t)$ e $Q(t)$ ho che:
$$A=\{(x,y,z)\in R^3| (x,y,z)=\lambda P(t)+(1-\lambda)Q(t)\}$$
per qualche $\lambda,t\in R$. Se vado a scrivere le equazioni esplicitamente, mi trovo un sistema di tre equazioni nelle variabili $x,y,z,\lambda,t$. Perciò alla fine posso ricavarmi una cosa del tipo $p(x,y,z)=0$ e dovrebbe (correggetemi se sbaglio) venire sempre una qualche quadrica.
La domanda è: se prendessi il punto $Q$ in modo indipendente da $P$, per esempio $Q(\theta)$, e considerassi i punti dati dall'unione di tutte queste rette che congiungono $P(t)$ e $Q(\theta)$, cosa avrei? Alla fine avrei una incognita in più, quindi il sistema sarebbe di 3 equazioni in 6 variabili, e alla fine dovrei avere qualcosa del tipo $p(x,y,z,\theta)=0$. Questo significa (se ho ben capito) che i punti considerati stavolta sono l'unione dei punti appartenenti ai supporti delle quadriche che si ottengono variando $\theta$ in $p(x,y,z,\theta)$. E l'unione di questi punti cosa mi dà? Se prima capivo che si trattava di una quadrica, ora non ne ho idea. L'unione di tutte le quadriche al variare di $\theta$ cosa mi dà? Non credo che mi dia tutto $R^3$, ma allora che particolare superficie ottengo considerando il supporto di $p(x,y,z,\theta)$? E' solo un insieme di punti che varia da caso a caso o c'è una qualche struttura generale? Grazie dell'aiuto
Risposte
L'insieme $A$ è un iperboloide iperbolico.
L'insieme che descrivi più avanti ha questa struttura generale: prendi tutto $\mathbb R^3$, togli i due piani passanti per $r$ e $s$ e paralleli a entrambe le rette, e all'insieme che hai così ottenuto riaggiungi $r$ e $s$. Infatti, gli unici punti che non puoi raggiungere tracciando una retta che passa per un punto $P\in r$ e un punto $Q\in s$ sono i punti di quei due piani che non stanno già su $r$ o $s$.
L'insieme che descrivi più avanti ha questa struttura generale: prendi tutto $\mathbb R^3$, togli i due piani passanti per $r$ e $s$ e paralleli a entrambe le rette, e all'insieme che hai così ottenuto riaggiungi $r$ e $s$. Infatti, gli unici punti che non puoi raggiungere tracciando una retta che passa per un punto $P\in r$ e un punto $Q\in s$ sono i punti di quei due piani che non stanno già su $r$ o $s$.
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