"Fasci di triangoli" e possibili lati dato un angolo
Salve, sto lavorando a un progetto che mi richiede di trovare, dato un lato e l'angolo a questo opposto, tutti i possibili triangoli.
Ovviamente questi sono infiniti, tra questi dovrei poi trovarne uno che abbia come distanza, tra il vertice il cui angolo è noto e uno degli estremi del lato, un valore definito. Non posso però usare direttamente questo valore come lato perchè è soggetto a un errore, l'idea era quindi di determinare questo fascio di triangoli nel quale sta per forza il valore esatto, e poi prendere la distanza che più ci si avvicina.
Il dubbio che ho, è questo: dato un lato e l'angolo opposto, qualsiasi lunghezza di almeno uno degli altri due lati è possibile?
Non so se sono stato chiaro; suppongo di avere il triangolo di vertici \(\displaystyle A B C \) con gli angoli \(\displaystyle \alpha \beta \gamma\), conosciamo la lunghezza di \(\displaystyle BC \) e l'ampiezza di \(\displaystyle \alpha \), per qualsiasi valore di \(\displaystyle AB \) esisterà un lato \(\displaystyle AC \) che forma un triangolo?
Ho provato, per quanto poco utile, di fare un disegno per spiegare meglio cosa intendo:
Ovviamente questi sono infiniti, tra questi dovrei poi trovarne uno che abbia come distanza, tra il vertice il cui angolo è noto e uno degli estremi del lato, un valore definito. Non posso però usare direttamente questo valore come lato perchè è soggetto a un errore, l'idea era quindi di determinare questo fascio di triangoli nel quale sta per forza il valore esatto, e poi prendere la distanza che più ci si avvicina.
Il dubbio che ho, è questo: dato un lato e l'angolo opposto, qualsiasi lunghezza di almeno uno degli altri due lati è possibile?
Non so se sono stato chiaro; suppongo di avere il triangolo di vertici \(\displaystyle A B C \) con gli angoli \(\displaystyle \alpha \beta \gamma\), conosciamo la lunghezza di \(\displaystyle BC \) e l'ampiezza di \(\displaystyle \alpha \), per qualsiasi valore di \(\displaystyle AB \) esisterà un lato \(\displaystyle AC \) che forma un triangolo?
Ho provato, per quanto poco utile, di fare un disegno per spiegare meglio cosa intendo:
Risposte
Ovviamente no. Per vederlo, supponi che \(A\) sia posizionato nell'origine e che il lato \(AB\) sia allineato con l'asse \(x\). Il punto \(C\) sarà a questo punto dato dall'intersezione di una sfera di raggio noto (la lunghezza di BC) con centro in \(B\) e la retta che forma un angolo \(\alpha\) con l'asse \(x.\) Una volta fissata la lunghezza di \(AB\) e il raggio della circonferenza, variando l'angolo si avranno prima due intersezioni, poi si arriverà ad un angolo per cui ce n'è una sola e infine angoli per cui non ci sono intersezioni.
L'equazione della retta è uguale a \( y = (\tan\alpha)\,x \) (ignoro per comodità il caso in cui \(\alpha\) sia di \(90\) gradi che si può risolvere a parte) e l'equazione della sfera è \((x - b)^2 + y^2 = r^2 \) dove \(b\) è la lunghezza di \(AB\) ed \(r\) è la lunghezza di \(BC.\) L'intersezione sarà quindi uguale alla soluzione di \((x - b)^2 + (\tan^2\alpha)\,x^2 = r^2.\) Risolvendo si ha
\[ x^2 - 2\,b\,x + b^2 + (\tan^2\alpha)\,x^2 - r^2 = 0 \]
da cui
\[ (1 + \tan^2\alpha)\,x^2 - 2\,b\,x + (b^2 - r^2) = 0 \]
Si avranno soluzioni reali quando
\[ b^2 \geq (1 + \tan^2\alpha)\,(b^2 - r^2). \]
L'equazione della retta è uguale a \( y = (\tan\alpha)\,x \) (ignoro per comodità il caso in cui \(\alpha\) sia di \(90\) gradi che si può risolvere a parte) e l'equazione della sfera è \((x - b)^2 + y^2 = r^2 \) dove \(b\) è la lunghezza di \(AB\) ed \(r\) è la lunghezza di \(BC.\) L'intersezione sarà quindi uguale alla soluzione di \((x - b)^2 + (\tan^2\alpha)\,x^2 = r^2.\) Risolvendo si ha
\[ x^2 - 2\,b\,x + b^2 + (\tan^2\alpha)\,x^2 - r^2 = 0 \]
da cui
\[ (1 + \tan^2\alpha)\,x^2 - 2\,b\,x + (b^2 - r^2) = 0 \]
Si avranno soluzioni reali quando
\[ b^2 \geq (1 + \tan^2\alpha)\,(b^2 - r^2). \]
Grazie (di nuovo)
Ero convinto di sbagliare qualcosa invece quello che mi accadeva aveva senso dunque.
E c'è qualche modo per chiamare questa "cosa"? Non ho trovato nulla su come determinare tutti i possibili punti \(\displaystyle A \), probabilmente "fascio di triangoli" non è neanche il nome giusto. Il problema è che è necessario prima definire tutti i possibili punti \(\displaystyle A \) e poi vedere, tra questi, quale prendere quello che più si avvicina alla distanza che dovrebbe avere \(\displaystyle AB \). Questo perchè i valori di \(\displaystyle AB \) e \(\displaystyle AC \) che riceve sono soggetti a errore, mentre \(\displaystyle BC \) e l'angolo \(\displaystyle \alpha \) sono esatti, e tracciando prima la linea di possibili punti di \(\displaystyle A \) si riduce l'errore (altrimenti in due dimensioni) a una sola dimensione, questa "linea" appunto.
Ero convinto di sbagliare qualcosa invece quello che mi accadeva aveva senso dunque.
E c'è qualche modo per chiamare questa "cosa"? Non ho trovato nulla su come determinare tutti i possibili punti \(\displaystyle A \), probabilmente "fascio di triangoli" non è neanche il nome giusto. Il problema è che è necessario prima definire tutti i possibili punti \(\displaystyle A \) e poi vedere, tra questi, quale prendere quello che più si avvicina alla distanza che dovrebbe avere \(\displaystyle AB \). Questo perchè i valori di \(\displaystyle AB \) e \(\displaystyle AC \) che riceve sono soggetti a errore, mentre \(\displaystyle BC \) e l'angolo \(\displaystyle \alpha \) sono esatti, e tracciando prima la linea di possibili punti di \(\displaystyle A \) si riduce l'errore (altrimenti in due dimensioni) a una sola dimensione, questa "linea" appunto.
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