"\(f\) iniettiva sse intersezione dei sottospazi e' nulla ..."

[giuscri]

Non riesco a gestirmi questa dimostrazione. Qualche indizio?, per riuscire a dimostrare che

sia \(V\) uno spazio vettoriale sul campo \(\mathbb{K}\). Siano \(U,\,W\) due suoi sottospazi*. Sia
\begin{array}{ccc}
f : &{U \times W} & \to &V \\
& (\underline{u},\,\underline{w}) & \mapsto &{\underline{u} + \underline{w}}
\end{array}
Si vuole dimostrare che \(f\) e' iniettiva sse \(U \cap W = \{0_V\}\).

Mi ricordo da una lezione qualche squarcio di dimostrazione che usa come perno il nucleo dell'applicazione, ma buttando giu' qualche riga mi perdo -e al momento non m'e' venuto in mente nulla di originale.

Di sicuro e' abbastanza semplice mostrare che sono solo le coppie \((\underline{u},\,\underline{w})\) i cui vettori stanno in \(U \cap W\) a poter andare in \(0_V\).
Infatti:
\begin{equation*}
\ker{f} = \{(\underline{u},\,\underline{w}) \in U \times W\;|\;\underline{u} + \underline{w} = 0_V\}
\end{equation*}
Ma
\begin{equation*}
0_V \in U \cap W
\end{equation*}
e \(U \cap W\) e' chiuso rispetto alla somma, dunque \(\underline{u},\,\underline{w} \in U \cap{W}\).

\(f\) e' iniettiva, quindi l'unica coppia che puo' andare in \(0_V\) e' \(0_{U\times{W}} \equiv{(0,\,0)}\). Ma in \(0_V\) ci vengono mandati solo vettori di \(\left(U\cap{W}\right) \times \left(U\cap{W}\right)\).
\(f\) e' lineare ed iniettiva quindi vale
\begin{equation*}
\left(U\cap{W}\right) \times \left(U\cap{W}\right)\ \ni (0,\,0) \leftrightarrow 0_V
\end{equation*}

Questo di certo non mi basta per concludere che
\begin{equation*}
U \cap{W} = \{0_V\}\,.
\end{equation*}

Che fare?
Grazie per la disponibilita'.
___
* A questo proposito, c'e' una notazione piu'-o-meno standard su come scrivere che uno spazio \(Z\) e' sottospazio di \(V\)?

[j18eos]

"giuscri":...\(f\) e' iniettiva, quindi l'unica coppia che puo' andare in \(0_V\) e' \(0_{U\times{W}} \equiv{(0,\,0)}\). Ma in \(0_V\) ci vengono mandati solo vettori di \(\left(U\cap{W}\right) \times \left(U\cap{W}\right)\).
\(f\) e' lineare ed iniettiva quindi vale
\begin{equation*}
\left(U\cap{W}\right) \times \left(U\cap{W}\right)\ \ni (0,\,0) \leftrightarrow 0_V
\end{equation*}
Questo di certo non mi basta per concludere che
\begin{equation*}
U \cap{W} = \{0_V\}\,.
\end{equation*}
...

Ma non tieni conto che \(f\) è iniettiva se e solo se \(\ker(f)=\{(0;0)\}\)?

P.S.: Normalmente, anzi è l'unica scrittura che conosco, si scrive \(Z

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[giuscri]

"j18eos":Ma non tieni conto che \(f\) è iniettiva se e solo se \(\ker(f)=\{(0;0)\}\)?

Mmm, si invece. Quando dico che

\( f \) e' iniettiva, quindi l'unica coppia che puo' andare in \( 0_V \) e' \( 0_{U\times{W}} \equiv{(0,\,0)} \).

[j18eos]

Se ho capito bene, dimostri che \(U\cap W\supseteq\ker f\)? Quindi ottieni che \(U\cap W=\{\mathbf{0}_V\}\Rightarrow f\,\text{è iniettiva}\)!

Non è che ci abbia capito molto...

[giuscri]

EDIT:
\[\ker{f} = \{(\underline{u},\,\underline{w}) \in U \times W\}\,:\, \underline{u} + \underline{w} = \underline{0}_V \}\]
Ma la condizione in fondo e'
\[\underline{u} + \underline{w} = 0_V \Rightarrow \underline{u} = -\underline{w}\]
\[\Rightarrow \underline{u} \in U,\,\in W\;\; \underline{w} \in W,\,\in U\]
cioe' nel \(\ker\) ci sono tutti e soli i vettori dell'intersezione -faccio fatica a familiarizzare con l'idea.
Ma nel \(\ker\) c'e' solo lo \(\underline{0}_V\) per l'iniettivita' di \(f\). Allora
\[U \cap W = \{\underline{0}_V\}\]
Da cui la tesi.

[j18eos]

"giuscri":...nel \(\ker\) ci sono tutti e soli i vettori dell'intersezione...

Perché tutti?

P.S.: Complimenti per l'edit, stavo per riscrivere tutto io. :

[giuscri]

"j18eos":Perché tutti?

Non trovi? Se devo essere onesto la cosa non mi convince moltissimo ...
Invero, non so perche' non mi convinca.

Pero' mi viene da pensare che e' maledettamente falso -anche se non so perche'.

Quello che starei affermando io sarebbe:

ho uno spazio vettoriale \(V\) e due sottospazi \(U\) e \(W\). Tutti i vettori \(\underline{u} \in U\) e tutti i vettori \(\underline{w} \in W\) se sommati mi danno il vettore \(\underline{0}\) -a prescindere dal pensare ad una qualche applicazione.

Ci devo pensare, ma ... non mi viene in mente nulla. Anche perche' la relazione
\[\ker{f} = \{(\underline{u}, \underline{w})\,:\, U \ni \underline{u} = -\underline{w} \in W\}\]
mi sembra chiara (oltre che derivata onestamente): se un vettore sta nell'intersezione allora viene mandato in zero -tuttavia, a dirlo a parole la cosa mi pare sia piuttosto assurda.

[apatriarca]

Ma l'intersezione \( U \cap V \) non è inclusa in \( U \times V \)! Quello che stai dimostrando è che a far parte del nucleo sono tutti i vettori nella forma \( (v, -v) \) per ogni \( v \in U \cap V \)...