Quiz sulle matrici

[lotuno]

Buon pomeriggio, vorrei chiedervi come mai in questo quiz la risposta corretta è la B:

Data questa matrice A: $( ( 2 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , 1 ),( 1 , -1 , 0 ) ) $


Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) det(3A) = 12.
(b) Esiste B 2 $R^(3;3)$ tale che AB = 8I (I denota la matrice identità).
(c) det$A^2$ = 2 det(A).
(d) det($A^t*A$) = 0.


Avevo pensato di vedere se 8 è autovalore per la matrice A, però come strategia si è rivelata fallimentare perché il polinomio caratteristico non mi comprende un 8... Pareri? Grazie mille

[Gi81]

$det(A)= (0+1+0)-(-1+0-2)= 1-(-3)=4$

Dato che $det(3A)=3^3 det(A)=27*4$, la a) è falsa.
Dato che $det(A^2)= det(A*A)=det (A)*det(A)= 16$ e $2 det(A)=2*4=8$, la c) è falsa.
Dato che $det(A^t *A)= det(A^t)*det(A)= det(A)*det(A)=16$, la d) è falsa.

Quindi, per esclusione, la risposta giusta deve essere la b).
Vediamo ora perchè la b) è corretta:
poichè $det(A)=4!=0$, si ha che $A$ è invertibile, dunque esiste $A^(-1)$ tale che $A*A^(-1)=I$

Se prendiamo $B:= 8 A^(-1)$, si ha proprio $A*B= A*(8 A^(-1))= 8 A*A^(-1)= 8I$

[lotuno]

Grazie mille, ho capito