Questo insieme ha una struttura di varietà differenziabile?
Ciao a tutti, ecco qua l'insieme:
$S = \{ f | f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}, \int_a^b f^2(t) dt = 1 \}$
La domanda è: S ammette una struttura di varietà differenziabile?
Tutte le definizioni di varietà differenziabile che ho trovato su libri e Internet richiedono l'esistenza di un n-atlante con n finito. A occhio non mi sembra che questo insieme possa verificare tale condizione.
Voi che dite? Se non è una varietà differenziabile allora cos'è? Un oggetto del genere ha un nome?
Grazie a tutti, buona giornata.
Dario
$S = \{ f | f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}, \int_a^b f^2(t) dt = 1 \}$
La domanda è: S ammette una struttura di varietà differenziabile?
Tutte le definizioni di varietà differenziabile che ho trovato su libri e Internet richiedono l'esistenza di un n-atlante con n finito. A occhio non mi sembra che questo insieme possa verificare tale condizione.
Voi che dite? Se non è una varietà differenziabile allora cos'è? Un oggetto del genere ha un nome?
Grazie a tutti, buona giornata.
Dario
Risposte
Quella è spesso detta sfera unitaria dello spazio $L^2([a, b])$. Sono (quasi) sicuro che non è possibile dotarla di struttura di varietà differenziabile di dimensione finita, perché significherebbe costruire omeomorfismi tra aperti di $S$ e aperti di $RR^n$ e questo implicherebbe una proprietà di locale compattezza di $S$. Ma in questi spazi normati di dimensione infinita la locale compattezza non c'è mai. Ci sono da sistemare molti punti oscuri in questa argomentazione, ma potrebbe funzionare.
Di sicuro questo insieme ha struttura di varietà differenziabile se la si intende in un senso più generale, ovvero ammettendo carte a valori in spazi di Banach non necessariamente finito-dimensionali. Avevo sfogliato un po' il libro Fundamentals of Differential Geometry di Lang che tratta la geometria differenziale in questo contesto anziché in quello solito con carte e coordinate.
Di sicuro questo insieme ha struttura di varietà differenziabile se la si intende in un senso più generale, ovvero ammettendo carte a valori in spazi di Banach non necessariamente finito-dimensionali. Avevo sfogliato un po' il libro Fundamentals of Differential Geometry di Lang che tratta la geometria differenziale in questo contesto anziché in quello solito con carte e coordinate.
Grazie dissonance, sei stato velocissimo. Quindi alcuni autori usano varietà ad infinite dimensioni. Tra l'altro non avevo detto niente sul tipo di funzioni f da utilizzare, ma comunque stavo pensando a qualunque funzione C infinito in [a, b], o comunque adeguatamente regolare.
Questa domanda nasce da un talk dato da Anuj Srivastava all'ACM Multimedia 2010 di Firenze, in cui mi sembra che l'autore, per descrivere uno spazio molto simile, abbia usato appunto il termine "Riemannian manifold". Per ora sono solo un principiante della geometria differenziale, comunque se non ho capito male le varietà Riemanniane sono varietà differenziabili. Purtroppo il talk era proprio un talk nel vero senso della parola, e sul CD dei proceedings ho trovato solo l'abstract. Comunque per chi fosse interessato all'argomento posso consigliare questo articolo: http://www.loni.ucla.edu/twiki/pub/CCB/CCB_Meetings_ISBI_June2009_Organization/Joshi_Shapereps_Ananlysis_Curves_Papers.pdf che dovrebbe trattare argomenti simili. Non l'ho ancora letto tutto comunque.
Ciao ciao.
Questa domanda nasce da un talk dato da Anuj Srivastava all'ACM Multimedia 2010 di Firenze, in cui mi sembra che l'autore, per descrivere uno spazio molto simile, abbia usato appunto il termine "Riemannian manifold". Per ora sono solo un principiante della geometria differenziale, comunque se non ho capito male le varietà Riemanniane sono varietà differenziabili. Purtroppo il talk era proprio un talk nel vero senso della parola, e sul CD dei proceedings ho trovato solo l'abstract. Comunque per chi fosse interessato all'argomento posso consigliare questo articolo: http://www.loni.ucla.edu/twiki/pub/CCB/CCB_Meetings_ISBI_June2009_Organization/Joshi_Shapereps_Ananlysis_Curves_Papers.pdf che dovrebbe trattare argomenti simili. Non l'ho ancora letto tutto comunque.
Ciao ciao.
Purtroppo caschi male nel senso che io di geometria - ahimé - non so molto. Voglio comunque dimostrare quanto dicevo prima, pensandoci un attimo vedo che è molto facile se si hanno i giusti strumenti, ovvero questo teorema:
Teorema (Riesz).
Sia $X$ uno spazio normato. Se l'insieme ${x\in X \ |\ ||x||<=1}$ è compatto, $X$ ha dimensione finita.
Corollario
Se esiste un aperto $ccA$ di $X$ tale che $bar{ccA}$ è compatto, allora $X$ ha dimensione finita.
Supponiamo per assurdo che $S$ sia una varietà topologica (ancora prima che differenziabile) di dimensione $n$, ovvero che ogni punto di $S$ abbia un intorno aperto omeomorfo ad un aperto di $RR^n$. In particolare esiste certamente un aperto $A$ di $S$ tale che $bar{A}$ è compatto. Consideriamo l'insieme $ccA={f \in L^2[0, 1]\ |\ f=\lambda g,\ g\in A, \lambda \in RR}$. Questo insieme è aperto in $L^2$ perché controimmagine di $A$ mediante l'applicazione continua $T: L^2-{0}\to S,\ T(f)=f//||f||$. Affermiamo che $bar{ccA}$ è compatto: infatti se $f_n=\lambda_n g_n$ è una successione limitata in $ccA$, allora necessariamente la successione di scalari $lambda_n$ è limitata e dunque ammette una estratta convergente; lo stesso vale anche per $g_n$ che appartiene all'aperto a chiusura compatta $A$. Prendendo estratte in successione troviamo una $f_{n_k}=\lambda_{n_k}g_{n_k}$ convergente, da cui l'affermazione. Ma questa è una contraddizione, perché grazie al Corollario precedentemente richiamato essa implica la dimensione finita di $L^2[a, b]$.
__________
P.S.: Mi sono accorto di avere preso $S \subset L^2[a, b]$ mentre tu avevi richiesto $S \subset C^{\infty}[a, b]$. Non cambia nulla: il teorema di Riesz non richiede la completezza dello spazio ambiente.
Teorema (Riesz).
Sia $X$ uno spazio normato. Se l'insieme ${x\in X \ |\ ||x||<=1}$ è compatto, $X$ ha dimensione finita.
Corollario
Se esiste un aperto $ccA$ di $X$ tale che $bar{ccA}$ è compatto, allora $X$ ha dimensione finita.
Supponiamo per assurdo che $S$ sia una varietà topologica (ancora prima che differenziabile) di dimensione $n$, ovvero che ogni punto di $S$ abbia un intorno aperto omeomorfo ad un aperto di $RR^n$. In particolare esiste certamente un aperto $A$ di $S$ tale che $bar{A}$ è compatto. Consideriamo l'insieme $ccA={f \in L^2[0, 1]\ |\ f=\lambda g,\ g\in A, \lambda \in RR}$. Questo insieme è aperto in $L^2$ perché controimmagine di $A$ mediante l'applicazione continua $T: L^2-{0}\to S,\ T(f)=f//||f||$. Affermiamo che $bar{ccA}$ è compatto: infatti se $f_n=\lambda_n g_n$ è una successione limitata in $ccA$, allora necessariamente la successione di scalari $lambda_n$ è limitata e dunque ammette una estratta convergente; lo stesso vale anche per $g_n$ che appartiene all'aperto a chiusura compatta $A$. Prendendo estratte in successione troviamo una $f_{n_k}=\lambda_{n_k}g_{n_k}$ convergente, da cui l'affermazione. Ma questa è una contraddizione, perché grazie al Corollario precedentemente richiamato essa implica la dimensione finita di $L^2[a, b]$.
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P.S.: Mi sono accorto di avere preso $S \subset L^2[a, b]$ mentre tu avevi richiesto $S \subset C^{\infty}[a, b]$. Non cambia nulla: il teorema di Riesz non richiede la completezza dello spazio ambiente.
Grazie mille, magari cascassi sempre male così. Scusa se ti chiedo le ultime due cose: ho qualche dubbio sulla compattezza di $bar{A}$ e $bar{ccA}$; mi torna intuitivamente ma mi sfugge l'esatto procedimento logico per arrivarci.
Nel caso di $bar{A}$ credo che si sfrutti l'omeomorfismo con $R^n$ ma non ho capito se bisogna anche sfruttare la limitatezza di qualche insieme.
Nel caso di $bar{ccA}$ credo che abbia a che vedere con il fatto che $g_{n_k}$, anche se non converge ad un elemento di $A$, converge ad un elemento del compatto $bar{A}$; quindi $f_{n_k}$ converge ad un elemento di
$D = {f \in L^2[0, 1]\ |\ f=\lambda g,\ g\in bar{A}, \lambda \in RR}$
che dovrebbe essere strettamente legato a $bar{ccA}$. O qualcosa di simile. Giusto?
Grazie ancora e buona giornata.
Dario
Nel caso di $bar{A}$ credo che si sfrutti l'omeomorfismo con $R^n$ ma non ho capito se bisogna anche sfruttare la limitatezza di qualche insieme.
Nel caso di $bar{ccA}$ credo che abbia a che vedere con il fatto che $g_{n_k}$, anche se non converge ad un elemento di $A$, converge ad un elemento del compatto $bar{A}$; quindi $f_{n_k}$ converge ad un elemento di
$D = {f \in L^2[0, 1]\ |\ f=\lambda g,\ g\in bar{A}, \lambda \in RR}$
che dovrebbe essere strettamente legato a $bar{ccA}$. O qualcosa di simile. Giusto?
Grazie ancora e buona giornata.
Dario
Allora, ti rispondo subito. Il fatto che, con l'ipotesi presa per assurdo, esista in $S$ un aperto $A$ relativamente compatto (i.e. $bar{A}$ è compatto) è un fatto puramente topologico:
[*:3js46ajw]sia $x\in S$ un punto, arbitario;[/*:m:3js46ajw]
[*:3js46ajw]esso ha un intorno, $I$, omeomorfo ad un aperto $J$ di $RR^n$ - sotto questo omeomorfismo $x$ corrisponde a, diciamo, $(x_1 \ldots x_n)$;[/*:m:3js46ajw]
[*:3js46ajw]$J$ è un intorno aperto di $(x_1\ldots x_n)$, quindi contiene certamente una sferetta di centro $(x_1\ldots x_n)$ e la sferetta è relativamente compatta;[/*:m:3js46ajw]
[*:3js46ajw]la controimmagine mediante l'omeomorfismo $I \to J$ della sferetta è un aperto relativamente compatto in $S$.[/*:m:3js46ajw][/list:u:3js46ajw]
Riguardo $ccA$, questa è una tecnica che si usa spesso in analisi: se vuoi dimostrare che un sottoinsieme di un certo spazio metrizzabile è relativamente compatto, è necessario e sufficiente mostrare che ogni successione limitata ha una estratta convergente (senza specificare a quale insieme appartiene il limite). E' un lemmino topologico che puoi dimostrare rapidamente, se poi incontri difficoltà ne possiamo riparlare.
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