Questo è un sottospazio vettoriale?
L'insieme $ A sub M_3 $ delle matrici del tipo $ ( ( a , 0 , 0 ),( a , b , c ),( b , c , 0 ) ) $
è un sottospazio vettoriale di $ M_3 $?
So che per verificarlo devo provare che sia linearmente chiuso, ma operativamente non so da dove partire?
Qualcuno mi potrebbe aiutare?
è un sottospazio vettoriale di $ M_3 $?
So che per verificarlo devo provare che sia linearmente chiuso, ma operativamente non so da dove partire?
Qualcuno mi potrebbe aiutare?
Risposte
Conosci la definizione di sottospazio? C'è una caratterizzazione necessaria e sufficiente per verificare questo fatto.
So che se x e y sono elementi del sottospazio anche x+y deve essere elemento del sottospazio
se x è un elemento del sottospazio e a è un elemento del campo allora a*x deve appartenere al sottospazio ma operativamente non mi è molto chiaro, soprattutto nel caso di matrici...
se x è un elemento del sottospazio e a è un elemento del campo allora a*x deve appartenere al sottospazio ma operativamente non mi è molto chiaro, soprattutto nel caso di matrici...
La caratterizzazione è la seguente: $W\subset V$ è un sottospazio se per ogni coppia di vettori $v,w\in W$ e ogni coppia di scalari $\alpha,\beta\in\mathbb{K}$ (il campo su cui sono costruiti gli spazi) risulta $\alpha v+\beta w\in W$. A questo punto prendi due matrici qualsiasi in $A$, due scalari $\alpha,\beta$, fai le somme e vedi se ottieni ancora una matrice della stessa forma (con gli zeri e i valori tra loro uguali nelle stesse posizioni per intenderci). Se è così, hai il tuo sottospazio.
E non dimentichiamoci del vettore nullo!
[Probabilmente ciampax l'ha già contemplato nel caso in cui \(\alpha = \beta = 0\) ma] è sempre meglio esplicitare
[Probabilmente ciampax l'ha già contemplato nel caso in cui \(\alpha = \beta = 0\) ma] è sempre meglio esplicitare
Ok! grazie delle risposte
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